5. Um feixe paralelo de laser de argônio ( λ = 4.880   Å ) , colimado por um diafragma de 1   m m de raio, é dirigido para a Lua. Calcule um limite inferior para o raio do feixe ao atingir a Lua e compare o resultado com o raio da Lua.

Passo 1

Vem comigo e vamos mostrar nosso jeito de ninja de ser!

Então, não se deixe assustar só porque o problema colocou um diafragma para colimar o feixe laser. Esse diafragma bem dizer serve como uma fenda circular.

Então teremos que usar o que sabemos sobre difração em fendas circulares para resolver esse problema. Para a difração em uma fenda circular temos que a aberturar angular do máximo central é dada por é dada por:

sen ⁡ θ = 0,61 λ a

Mas como θ é um ângulo pequeno temos a seguinte aproximação:

sen ⁡ θ ≈ tg ⁡ θ

Só que tangente desse ângulo pode ser dada pelo cateto oposto sobre o cateto adjacente. Tomando o raio da figura formada na lua como o nosso cateto oposto e a distância entre a lua e a Terra como nosso cateto adjacente, temos:

R L = 0,61 λ a

E como o que queremos é o raio da figura formada na lua, basta isolar o R . Vamos lá então.

Passo 2

Temos o seguinte:

R L = 0,61 λ a

⇒ R = 0,61 λ a L

Usando que a distância entre a lua e a Terra é de aproximadamente 3,84 ⋅ 10 8   m , que o raio do diafragma em metros é 10 - 3   m e que o comprimento de onda é λ = 4880   Å = 4880 ⋅ 10 - 10 , temos:

R = 0,61 4880 ⋅ 10 - 10 10 - 3 ( 3,84 ⋅ 10 8 )

= 114,31 10 - 3

Então temos que:

R = 114310   m

Que é aproximadamente 114   k m , então esse é o raio da nossa figura na Lua.

Passo 3

Agora vamos ver que porcentagem isso representa do raio da lua como uma forma de comparar esses raios.

O raio da lua é de 1737,1   k m , fazendo uma regrinha de três conseguimos saber a porcentagem que o valor que encontramos representa do raio da lua, temos:

1737,1   -   100 %

114   –   x

Multiplicando cruzado temos:

x = 114 ⋅ 100 1737,1 = 6,56 %

Resposta

114   k m ≈ 6,56   % do raio da Lua.

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