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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Adicionais - Ex. 71

Na Fig. 10-46, um pequeno disco de raio r   =   2,00   c m foi c o lado na borda de um disco maior de raio R   =   4,00   c m , com os discos no mesmo plano. Os discos podem girar em tomo de um eixo perpendicular que passa pelo ponto O , situado no centro do disco maior. Os discos têm uma massa específica (massa por unidade de volume) uniforme de 1,40 *   10 3 k g / m 3 e uma espessura, também uniforme, de 5,00   m m . Qual é o momento de inércia do conjunto dos dois discos em relação ao eixo de rotação que passa por O ?

Passo 1

Fala galerinha aii galerinha bonita, tudo beleza?! Bora lá ver como que fica esse exercício!! Temos a seguinte figura:

O disco menor tem raio r = 2,00   cm enquanto que o disco maior possuir raio R = 4,00   cm , dado que os discos possuem massas especificas e espessuras iguais, o enunciado quer que a gente encontre o momento de inércia do conjunto que passa pelo eixo na origem O .

Mas calma lá galerinha, sabemos que o momento de inércia total I do conjunto, será a soma dos momento de inércia individuais de cada disco:

I = I m a i o r + I m e n o r

Onde I m a i o r é o momento de inércia do disco maior em relação a O , e da mesma maneira I m e n o r será o momento de inércia do disco menor em relação a O .

Passo 2

Então saca só, antes de encontrar os momento de inércia, primeiro vamos determinar a massa de cada disco. Pra isso podemos usar as relações entre o volume V e a massa especifica ρ :

massa = V ρ

De forma que para o disco menor de espessura h , vamos ter uma massa m dada como:

m   =   ρ π r 2 h

Agora para o disco maior, teremos a mesma espessura h , de modo que sua massa M será:

M   =   ρ π R 2 h

Passo 3

Iradoso, dessa forma para a o disco maior, como o eixo de rotação passa pelo seu centro, teremos que o seu momento de inércia será:

I m a i o r = 1 2 M R 2

I m a i o r = 1 2 ρ π R 2 h R 2

I m a i o r = 1 2 ρ π R 4 h

Agora para o disco menor rola uma malandragem, porque o eixo de rotação não passa pelo seu centro, dessa forma devemos deslocar seu momento de inércia utilizando o teorema dos eixos paralelos:

I m e n o r = I C M + m d 2

Onde I C M é o momento de inércia do disco em relação ao seu centro de massa dado como:

I C M = 1 2 m r 2

Enquanto que d é a distância do centro de massa até o eixo de rotação:

d = r + R

Juntando toda essa brincadeira, vamos obter que:

I m e n o r = 1 2 m r 2 + m r + R 2

I m e n o r = 1 2 ρ π r 2 h r 2 + ρ π r 2 h r + R 2

I m e n o r = 1 2 ρ π r 4 h + ρ π r 2 h r + R 2

Passo 4

Belejóia, agora se a gente juntar nossas últimas descobertas, veremos que o momento de inércia total será expresso como:

I = I m a i o r + I m e n o r

I = 1 2 ρ π R 4 h + 1 2 ρ π r 4 h + ρ π r 2 h r + R 2

Colocando ρ π h em evidencia, teremos que:

I   = ρ π h R 4 2 + r 4 2 +   r 2 r   +   R 2

Substituindo os valores que o enunciado nos fornece, descobrimos que

I = 1,40 × 10 3 × π × 5 × 10 - 3 0,04 4 2 + 0,02 4 2 + 0,02 2 × 0,02 + 0,04 2

I =   6,16 × 10 - 5   kg. m 2

E prontinho!

Resposta

I =   6,16 × 10 - 5   kg. m 2

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