Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 23.4 - Ex. 14
A Fig. 23-30 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, imersa em um campo elétrico dado por, com x em metros. Qual é a carga total contida no cubo?
Passo 1
Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Então temos um cubo de lado , nesse cubo passa o campo, . Precisamos descobrir a carga total contida no cubo.
Podemos utilizar a lei de Gauss para descobrir a carga contida no cubo, porém para isso, precisamos calcular o fluxo elétrico que atravessa o cubo, para isso podemos utilizar a formula:
Onde:
- é o fluxo elétrico que atravessa o cubo;
- é o campo elétrico e
- é a derivada da área atravessada.
Passo 2
Antes de fazer essa integral, vamos pensar o seguinte, quando eu tenho um campo elétrico constante atravessando a superfície, esse campo não tem importância para o fluxo total que atravessa a superfície.
Pois tudo que entra, devido a esse campo, sai. LOGO, só estamos interessados em quem irá variar!
Se olharmos para o campo que é dado no enunciado, podemos descartar de cara as componentes () e () e a componente constate do (). Pois elas NÃO VARIAM com a posição!
Podemos fazer toda a conta com essas componentes? Podemos, mas no final só estaríamos fazendo contas a mais que vão zerar.
Passo 3
Como a nossa única componente que varia com a posição é a componente do eixo do campo elétrico, dada por , vamos calcular o fluxo, somente levando em conta a face frontal e traseira, porque são elas que variam o :
Onde:
Aqui temos o campo onde ,a face que está na origem do eixo .
Enquanto:
A face traseira do cubo está na parte negativa de e se o cubo tem lados iguais a , essa face traseira está em .
Aqui temos os nossos fluxos, e eles são dados por produtos escalares. Para saber se esses produtos escalares vão dar positivo ou negativo, uma boa forma de se ver, é pensar que:
Fluxo que está saindo da superfície é positivo.
Fluxo que está entrando na superfície é negativo.
Passo 4
Olhando para a nossa figura, temos:
Vemos então que o fluxo ocasionado pela componente do campo elétrico na face traseira está entrando na superfície e, portanto, o nosso produto escalar dá negativo:
E o fluxo na frontal está saindo, portanto o produto escalar dá positivo:
Continuando...
Se o campo é dado só pela componente que varia o , então será:
Vamos substituir então na equação?
Substituindo os fluxos:
Substituindo os campos e seus pontos :
Multiplicando, temos:
E qual é a área de um quadrado com aresta igual a Sim, a área é igual a
Passo 5
Agora, utilizando a lei de Gauss para encontrar a carga, essa lei diz que o fluxo elétrico
É igual a divisão do valor da carga interna pela permissividade elétrica do meio, logo:
Substituindo o valor do campo elétrico que calculamos e o valor da permissividade elétrica :