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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 9ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 9º - Capítulo 23.4 - Ex. 12

A Fig. 23-32 mostra duas cascas esféricas não condutoras mantidas fixas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de cargas uniforme de +6,0 μC/m2 na superfície externa e um raio de 3,0 cm; a casca 2 possui uma densidade superficial de cargas uniforme de +4,0 μC/m 2 na superfície externa e um raio de 2,0 cm; os centros das cascas estão separados por uma distância L = 10 cm. Em termos dos vetores unitários, qual é o campo elétrico no ponto x = 2,0 cm?

Passo 1

Temos duas cascas esféricas não condutoras, a primeira com raio r 1 =   3,0   c m e densidade uniforme de carga σ 1   =   + 6,0     μ C / m 2 . A segunda tem r a i o   r 2   =   2,0   c m e densidade uniforme de carga σ 2   =   + 4,0     μ C / m 2 .

Precisamos, encontrar o campo no ponto x = 2,0   c m .

Primeiramente temos que perceber que esse ponto está dentro da casca esférica 1.

Temos que ficar atentos que o campo dentro de uma casca esférica devido a própria casca é zero. Isso irá acontecer pois toda a carga da casca esférica estará na sua superfície, e assim não haverá carga no interior da gaussiana e pela lei de gauss teremos que o campo é zero.

q i n t 1 = 0 → E 1 = 0

Ou seja, o campo elétrico nesse ponto será causado somente pela casca 2. A fórmula para o campo gerado por uma casca esférica é:

E 2 = E = q 4 π ε 0 1 d 2

É importante se atentar a direção desse campo elétrico. O campo sai da carga positiva, dessa forma, o campo elétrico gerado pela casca 2 no ponto x   =   2,0 c m terá direção negativa.

Tendo em mãos a fórmula é só calcularmos a carga e depois o campo, com essas considerações que falamos aí, bora fazer isso?

Passo 2

Vamos começar calculando a carga total na casca esférica 2.

Usando a densidade superficial de cargas:

σ 2 = q A

q = A σ 2

Substituindo a área da esfera A = 4 π R 2 temos:

q = 4 π R ² σ 2

Agora é substituir os valores, tanto do raio quando da densidade para a esfera 2.

q = 4 π 0,02 2 4,0 × 10 - 6 = 2,0 × 10 - 8 C

Encontrada a carga vamos ao campo!

Lembrando que a distância entre a carga e a casca é d   =   L   –   x . Podemos calcular o campo elétrico:

E → = q 4 π ε 0 1 L - x 2 - î

Substituindo a carga encontrada e L = 0,1 m temos:

E → = 2,0 × 10 - 8 4 π 8,85 × 10 - 12 1 0,10 - 0,02 2 - î = - 2,8 x 10 4 N / C

Resposta

E → = - 2,8 x 10 4 N / C

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