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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 8º - Capítulo 26.4 - Ex. 35

Na Fig. 26-29, uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω · m , raio menor a = 2,00 m m , raio maior b = 2,30 m m e comprimento L = 1,94 c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma questão um pouco mais complicada, onde na Figura 26-29 mostra a corrente i entrando no tronco de cone pela base menor e saindo pela base maior; vamos escolher este sentido como sentido positivo do eixo x . Iremos aqui calcular a resistência elétrica deste objeto.

Como a densidade de corrente J é uniforme, J x = i A , na qual A = π r 2 é a área da seção reta do cone. Como, de acordo com a Eq. 26-11, E = ρ J , temos:

E x = i ρ π r 2 .

Passo 2

Integrando E x , podemos determinar a diferença de potencial V entre as bases do tronco de cone e calcular a resistência usando a relação R = V i (Eq. 26-8). Para isso, porém, é preciso conhecer como r varia com x .

Como o raio do tronco de cone varia linearmente com x , sabemos que r c 1 + c 2 x , na qual c 1 e c 2 são constantes. Tomando como origem o centro da base menor do tronco de cone, r = a para x = 0 e, portanto, c 1 = a . Como r = b para x = L , b = a + c 2 L , o que nos dá c 2 = b - a L . Assim, temos:

r = a + b - a L x .

Passo 3

Substituindo r por esse valor na expressão de E(x), obtemos:

E x = i ρ π a + b - a L x - 2

A diferença de potencial entre as bases do tronco de cone é

V = ∫ 0 L E d x = i ρ π ∫ 0 L a + b - a L x - 2 d x

V = - i ρ π L b - a a + b - a L x - 1 0 L

V = i ρ π L b - a 1 a - 1 b

V = i ρ π L b - a b - a a b = i ρ L π a b

Passo 4

e a resistência é

R = V i = ρ L π a b

e substituindo os valores da questão

a = 2,00 m m

b = 2,30 m m

ρ = 731 Ω · m

L = 1,94 c m

R = ρ L π a b = 731 Ω . m π 2,00 × 10 - 3 m × 2,30 × 10 - 3 m = 9,81 × 10 5 Ω = 981 k Ω

Note que, se b = a , R = ρ L π a 2 = ρ L A , na qual A = π a 2 é a área da seção reta do cilindro.

Resposta

R = 981 k Ω

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