Na Fig. 26-29, uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω ⋅ m , raio menor a = 2,00   m m , raio maior b = 2,30   m m e comprimento L = 1,94   c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

(a) A Fig. 26-29 mostra a corrente i entrando no tronco de cone pela base menor e saindo pela base maior; vamos escolher este sentido como sentido positivo do eixo x . Como a densidade de corrente J é uniforme, J ( x ) = i / A , na qual A = π r 2 é a área da seção reta do cone. Como, de acordo com a Eq. 26-11, E = ρ J , temos:

E ( x ) = i ρ π r 2

Integrando E ( x ) , podemos determinar a diferença de potencial V entre as bases do tronco de cone e calcular a resistência usando a relação R = V / i (Eq. 26-8). Para isso, porém, é preciso conhecer como r varia c o m ⁡ x .

Como o raio do tronco de cone varia linearmente com x , sabemos que r = c 1 + c 2 x , na qual c 1 e c 2 são constantes. Tomando como origem o centro da base menor do tronco de cone, r = a para x = 0 e, portanto, c 1 = a . Como r = b para x = L , b = a + c 2 L , o que nos dá c 2 = ( b - a ) L . Assim, temos:

r = a + b - a L x

S u b s t i t u i n d o   r   p o r   e s s e   v a l o r   n a   e x p r e s s ã o   d e   E ( x ) ,   o b t e m o s :

E ( x ) = i ρ π a + b - a L x - 2

A diferença de potencial entre as bases do tronco de cone é

V = - ∫ 0 L   E d x = - i ρ π ∫ 0 L   a + b - a L x - 2 d x = i ρ π L b - a a + b - a L x - 1 | 0 L

= i ρ π L b - a 1 a - 1 b = i ρ π L b - a b - a a b = i ρ L π a b

e   a   r e s i s t ê n c i a   é

R = V i = ρ L π a b = ( 731 Ω ⋅ m ) 1,94 × 10 - 2 m π 2,00 × 10 - 3 m 2,30 × 10 - 3 m = 9,81 × 10 5 Ω = 981 k Ω

N o t e   q u e ,   s e   b = a , R = ρ L / π a 2 = ρ L / A ,   n a   q u a l   A = π a 2   é   a   á r e a   d a   s e ç ã o   r e t a   d o   c i l i n d r o .

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Resposta

A = π a 2   é   a   á r e a   d a   s e ç ã o   r e t a   d o   c i l i n d r o .

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