Na Figura 13-39, H é a profundidade do líquido e h é a distância da superfície do líquido ao tubo inserido no lado do tanque. (a) Encontre a distância x em que a água atinge o chão depois de sair do tubo em função h e H (b) Mostre que, para um dado valor de H, existem dois valores de h (cujo valor médio é ), ambos os quais dão a mesma distância x (c) Mostre que para um determinado valor de H, x é máximo quando . Encontre o valor máximo para x em função de H.

Agora, fazemos algumas considerações, para facilitar os cálculos. Observe que, , velocidade em a, é praticamente 0. Como também a pressão em a quanto a pressão em b são iguais a pressão no nível do mar.

Dessa maneira,

Logo, aplicando essas considerações que fizemos na equação de Bernoulli temos,

Pronto, encontramos, agora falta achar o tempo. Uma equação que relaciona distância com o tempo e aceleração, no caso a gravitacional, é:

Relacionando com as nossas variáveis, e como a velocidade inicial é 0, temos:

Agora ficou mais fácil, basta substituir as duas equações que achar, a da velocidade e a do tempo, na primeira equação. Logo,

O item (b) pede para encontrarmos dois valores de H, de tal modo que se fazermos a média deles vai dar . Para isso, utilizamos a resposta do item (a)

Logo,

Por Baskara,

Note que há dois valores de h. Vamos fazer a média agora

Para este item vamos lembrar um pouco de Cálculo. Quando querermos encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função basta derivamos ela e igualarmos a 0. Nossa função no caso é:

Como o item pede o valor máximo de x em relação a h, derivamos a nossa função x em função de h e igualarmos a 0.

Simplificando,

Estamos quase lá! Para acharmos o valor máximo de x, basta substituir o valor de h na função principal. Logo,