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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 25.Exercícios e Problemas - Ex. 11

A Figura 25.9 mostra um transformador. O campo magnético fica confinado dentro do toróide magnético. Considere o volume do toróide sombreado em cinza. Utilize o teorema de Gauss e a lei ∇ ⋅ B → = 0 para mostrar que o fluxo do campo magnético tem o mesmo valor nas superfícies S 1 e S 2 .

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

Para resolver esse problema vamos considerar o cilindro cinza com superfície superior S 1 e superfície inferior S 2 e o campo magnético dentro dele:

Vamos calcular o fluxo magnético sobre esse cilindro:

∯ B → ⋅ d S → = ∬ B → ⋅ n ^ 1   d S 1 + ∬ B → ⋅ n ^ 2   d S 2

Na última passagem usei quebrei o fluxo sobre a superfície inteira em fluxos sobre as tampas do cilindro, considerando que o fluxo sobre a superfície lateral é nulo!

Da figura, é fácil perceber que n ^ 1 = n ^ e n ^ 2 = - n ^ , de modo que

∯ B → ⋅ d S → = ∬ B → ⋅ n ^   d S 1 - ∬ B → ⋅ n ^   d S 2 = Φ 1 - Φ 2

Passo 2

Agora vem o pulo do gato: usando o teorema de Gauss, podemos escrever

∯ B → ⋅ d S → = ∭ ∇ ⋅ B →   d V

Como ∇ ⋅ B → = 0 , segue que

∯ B → ⋅ d S → = 0

Com isso,

Φ 1 - Φ 2 = 0

Desta forma, mostramos que os fluxos são iguais:

Φ 1 = Φ 2

Resposta

Demonstração.

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