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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 26.Exercícios e Problemas - Ex. 18

Supondo que γ ≪ ω 0 , calcule a razão r = P - ω 0 + γ / 2 / P - ω 0 para um oscilador LRC forçado.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Na seção 26.1.8 foi apresentado que a potência média desenvolvida no oscilador LRC é

P - ω = E 0 2 2 L ⋅ γ ω 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Com isso, para ω = ω 0 + γ / 2 , temos

ω 2 = ω 0 + γ 2 2 = ω 0 2 + γ ω 0 + γ 2 4

Usando que γ ≪ ω 0 , podemos fazer uma aproximação e negligenciar completamente o termo γ 2 / 4 , de modo que

ω 0 + γ 2 2 ≈ ω 0 2 + γ ω 0

Com essa aproximação, temos que

P - ω 0 + γ 2 ≈ E 0 2 2 L ⋅ γ ω 0 2 + γ ω 0 ω 0 2 - ω 0 2 - γ ω 0 2 + γ 2 ω 0 2 + γ ω 0

Ou ainda,

P - ω 0 + γ 2 ≈ E 0 2 2 L ⋅ γ ω 0 ω 0 + γ γ 2 ω 0 2 ω 0 + γ = E 0 2 2 L ⋅ ω 0 + γ γ 2 ω 0 + γ

Analogamente, para ω = ω 0 encontramos:

P - ω 0 = E 0 2 2 L ⋅ γ ω 0 2 ω 0 2 - ω 0 2 2 + γ 2 ω 0 2 = E 0 2 2 L ⋅ 1 γ

Passo 2

Agora podemos calcular a razão:

r = P - ω 0 + γ 2 P - ω 0 ≈ E 0 2 2 L ⋅ ω 0 + γ γ 2 ω 0 + γ E 0 2 2 L ⋅ 1 γ

Portanto,

r ≈ ω 0 + γ 2 ω 0 + γ

Usando a condição ω 0 ≫ γ , podemos fazer uma nova aproximação:

ω 0 + γ ≈ ω 0             e           2 ω 0 + γ ≈ 2 ω 0

Com isso,

r ≈ ω 0 2 ω 0

Ou ainda,

r ≈ 1 2

Resposta

r ≈ 1 2

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