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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 29.1 - Ex. 61

A Figura 29-41 mostra um indutor em serie com um capacitor de placas paralelas.O capacitor tem largura to de 20 cme espacamento de 2,0 mm.Um dieletrico com constante dieletrica de 4,8 pode deslizar para dentro e para fora do espacamento entre as placas.O indutor tem uma indutancia de 2,0 mH.Quando metade do dieletrico esta entre as placas do capacitor(quandox=w),a frequencia de ressonancia para esta combinacao e90 MHz.(a)Qual ea capacitancia do capacitor sem o dieletrico?(b)Determine a fre- quencia de ressonancia como funcao

Passo 1

E aiiii gente, vem fazer essa questão tranquilíssima comigo!

Segura na minha mão, e vem!

Podemos modelar este capacitor como o equivalente a dois capacitores conectados em paralelo. Seja C 1 , a capacitância do capacitor com dielétrico e C 2 , a capacitância do capacitor com ar. Vamos derivar expressões para as capacitâncias dos capacitores paralelos e adicionar essas expressões para obter C ( x ) . Podemos então usar a frequência de ressonância dada quando x = w / 2 e o valor dado para L para avaliar C 0 . Na Parte b, podemos usar nosso resultado para C ( x ) e a relação entre f, L e C ( x ) em ressonância para expressar f ( x ) .

Letra a:

Expresse a capacitância equivalente dos dois capacitores em paralelo:

C x = C 1 + C 2 = κ ϵ 0 A 1 d + ϵ 0 A 2 d             ( 1 )

Expresse A 2 em termos da área total de uma placa de capacitor A, w, e a distância x:

A 2 A = x w ⇒ A 2 = A x w

Expresse A 1 em termos de A e A 2 :

A 1 = A - A 2 = A 1 - x w

Substitua na equação (1) e simplifique para obter:

C ( x ) = κ ∈ 0 A d 1 - x w + ϵ 0 A d x w = ϵ 0 A d κ 1 - x w + x w = κ C 0 1 - κ - 1 κ w x   o n d e   C 0 = ϵ 0 A d

Passo 2

Encontre C ( w / 2 ) :

C w 2 = κ C 0 1 - κ - 1 κ w w 2 = κ C 0 1 - κ - 1 2 κ = C 0 κ + 1 2

Expresse a frequência de ressonância do circuito em termos de L e C ( x ) :

f x = 1 2 π L C x             ( 2 )

Avalie f ( w / 2 ) :

f w 2 = 1 2 π L C 0 κ + 1 2 = 1 2 π 2 ( κ + 1 ) L C 0

Resolva para C 0 para obter:

C 0 = 1 2 π 2 f 2 w 2 L ( κ + 1 )

Substitua os valores numéricos e avalie o C 0 :

C 0 = 1 2 π 2 ( 90 M H z ) 2 20 c m 2 ( 2.0 m H ) ( 4.8 + 1 ) = 5.4 f F

Passo 3

Letra b:

Substitua por C ( x ) na equação (2) para obter:

f ( x ) = 1 2 π L κ C 0 1 - κ - 1 κ w x

Substitua os valores numéricos e avalie a f ( x ) :

f ( x ) = 1 2 π ( 2.0 m H ) ( 4.8 ) 5.39 × 10 - 16 F 1 - 4.8 - 1 4.8 ( 0.20 m ) x = 70 M H z 1 - 4.0 m - 1 x

Resposta

  1. C 0 = 1 2 π 2 ( 90 M H z ) 2 20 c m 2 ( 2.0 m H ) ( 4.8 + 1 ) = 5.4 f F
  2. f ( x ) = 1 2 π ( 2.0 m H ) ( 4.8 ) 5.39 × 10 - 16 F 1 - 4.8 - 1 4.8 ( 0.20 m ) x = 70 M H z 1 - 4.0 m - 1 x
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