Enunciado

No circuito da figura, ε = ε 0 cos ⁡ ω t . Calcule a frequência angular de ressonância definida como o valor de ω para o qual a reatância do circuito se anula.

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar as relações para encontrar a frequência de ressonância para o caso onde as reatâncias se anulam. Para isso, vamos primeiro achar a impedância do circuito e a partir daí iremos analisar o caso em que as reatâncias se anulam e apenas resta a resistência.

Passo 2

Bom, como dito no passo 1, vamos começar achando a impedância para o circuito em paralelo, assim como mostrado no livro. Temos que a impedância para a resistência e o indutor é dada por:

Z L R = R + i ω L

Agora para a capacitância, vamos ter que o circuito estará em paralelo, assim a impedância total do circuito se dá por:

1 Z = 1 Z C + 1 Z L R = 1 R + i ω L - 1 i ω C

Z = - R i ω C + L C R + i ω L - 1 ω C

Queremos que apenas reste a resistência, então para conseguirmos deixar apenas esse termo existente, temos que satisfazer a seguinte relação:

ω L = 1 ω C - R 2 ω L

ω 2 = 1 L C - R 2 L 2 → ω = 1 L C - R 2 L 2

Sendo essa nossa frequência para o qual todas as reatâncias se anulam, tornando a resistência do circuito a mínima possível e fazendo com que o sistema fique com a maior frequência de oscilação possível.

Resposta

ω 0 = 1 L C - R 2 L 2

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