Enunciado

A figura 29-44 mostra um gráfico da potência média P M É D versus a frequência w do gerador para um circuito RLC em série alimentado por um gerador ac. A potência média P M É D é dada pela Equação 29-56. A largura máxima à meia altura, ∆ w , é a largura da curva de ressonância entre os dois pontos onde P M É D tem metade de seu valor máximo. Mostre que, para uma curva de ressonância bastante estreita, ∆ w = R / L e que Q F A T O R = w 0 ∆ w (Equação 29-58). Dica: Os pontos de metade da potência ocorrem quando o denominador da Equação 29-56 é igual ao dobro do valor que ele tem na ressonância; isto é, quando L 2 w 2 - w 0 2 2 + w 2 R 2 = + w 0 2 R 2 .

Suponha que w 1   e   w 2 sejam as soluções desta equação. Então, mostre que ∆ w = w 2 - w 1 ≅ R / L .

Passo 1

Amigos e amigas!

Vamos por etapas...

A equação 29-56 nos garante que:

P A V = V A P P , R M S 2 R w 2 L 2 w 2 - w 0 2 2 + w 2 R 2

Os pontos de metade da potência média são quando:

L 2 ( w - w 0 ) ( w + w 0 ) 2 + w 2 R 2 ≅ 2 w 0 2 R 2

Para haver um pico de ressonância brusco, devemos considerar:

w + w 0 ≅ 2 w 0

Então:

L 2 ( w - w 0 ) ( 2 w 0 ) 2 + w 2 R 2 ≅ 2 w 0 2 R 2

4 w 0 2 L 2 w - w 0 2 + w 2 R 2 ≅ 2 w 0 2 R 2

Vamos considerar que w 1 seja a solução da equação e depois vamos simplificar, logo:

4 w 0 2 L 2 w 1 - w 0 2 + w 0 2 R 2 ≅ 2 w 0 2 R 2

4 w 0 2 L 2 w 1 - w 0 2 ≅ w 0 2 R 2

w 1 - w 0 2 ≅ R 2 4 L 2

Passo 2

Ao encontrar:

w 1 - w 0 2 ≅ R 2 4 L 2

Vamos resolver em função de w 1 :

w 1 ≅ w 0 - R 2 L

OBS:

- R 2 L   p o i s   w 1 < w 0 .

Agora, em função de w 2 :

w 2 ≅ w 0 + R 2 L

OBS:

R 2 L   p o i s   w 2 > w 0 .

Portanto:

∆ w = w 0 + R 2 L - w 0 - R 2 L = R L

Passo 3

Agora, da definição:

R L = w 0 Q

∆ w ≅ w 0 Q ⇒ Q ≅ w 0 ∆ w

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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