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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 31.1 - Ex. 38

A Figura 31-57 mostra um feixe de luz incidente em uma

placa de vidro de espessura de indice de refracao n.(a)Determine o

angulo de incidencia para que a separacao b entre o raio refletido da

superficie de cima e o raio refletido da superficie de baixo que sai pela

Passo 1

Seja x a separação perpendicular entre os dois raios e seja l   a separação entre os pontos de emergência dos dois raios na superfície do vidro. Podemos usar a geometria dos raios refratados e refletidos para expressar x como um função de l ,   d ,   θ r e θ i . Vamos definir a derivada da equação resultante igual a zero resultará no valor θ i , que maximiza x.

Passo 2

Letra a:

Expresse l em termos do ângulo de refração θ r

l = 2 d t a n ⁡ θ r

Expresse x como uma função de l ,   d ,   θ r e θ i

Diferencie x com respeito à θ i :

d x d θ 1 = 2 d d d θ 1 t a n ⁡ θ r c o s ⁡ θ 1 = 2 d - t a n ⁡ θ r s i n ⁡ θ 1 + s e c 2 ⁡ θ t c o s ⁡ θ i d θ r d θ 1                   ( 1 )

Aplique a lei de Snell à interface ar-vidro:

n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ r                   ( 2 )   o u ,   c o m o   n 1 = 1   a n d   n 2 = n s i n ⁡ θ 1 = n s i n ⁡ θ r

Diferencie implicitamente em relação à θ i para obter:

c o s ⁡ θ 1 d θ 1 = n c o s ⁡ θ r d θ r   o u   d θ r d θ i = 1 n cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ r

Passo 3

Substitua na equação (1) para obter:

d x d θ 1 = 2 d - sin ⁡ θ t cos ⁡ θ r s i n ⁡ θ 1 + 1 n cos ⁡ θ i cos 2 ⁡ θ r cos ⁡ θ i cos ⁡ θ r = 2 d 1 n cos 2 ⁡ θ i cos 3 ⁡ θ r - s i n ⁡ θ r s i n ⁡ θ i cos ⁡ θ r

Substitua 1 - s i n 2 ⁡ θ 1  por   c o s 2 ⁡ θ i e 1 n s i n ⁡ θ i  por   s i n ⁡ θ t   para obter

d x d θ i = 2 d 1 - s i n 2 ⁡ θ i n c o s 3 ⁡ θ r - sin 2 ⁡ θ i n c o s ⁡ θ r

Multiplique o segundo termo entre parênteses por c o s 2 θ r / c o s 2 θ r e simplifique para obter:

d x d θ i = 2 d 1 - s i n 2 ⁡ θ i n c o s 3 ⁡ θ r - s i n 2 ⁡ θ i c o s 2 ⁡ θ r n c o s 3 ⁡ θ r = 2 d n c o s 3 ⁡ θ r 1 - s i n 2 ⁡ θ i - s i n 2 ⁡ θ 1 c o s 2 ⁡ θ r

Substitua 1 - s i n 2 ⁡ θ r  por   c o s 2 ⁡ θ r :

d x d θ i = 2 d n c o s 3 ⁡ i 1 - s i n 2 ⁡ θ i - s i n 2 ⁡ θ i 1 - s i n 2 ⁡ θ r

Substitua 1 n s i n ⁡ θ i  for  s i n ⁡ θ r para obter:

d x d θ i = 2 d n c o s 3 ⁡ θ r 1 - s i n 2 ⁡ θ i - s i n 2 ⁡ θ i 1 - 1 n 2 s i n 2 ⁡ θ i

d x d θ i = 2 d n 3 c o s 3 ⁡ θ r s i n 4 ⁡ θ i - 2 n 2 s i n 2 ⁡ θ i + n 2 = 0  para  extremo

Se d x / d θ i = 0 , então deve ser verdade que:

s i n 4 ⁡ θ i - 2 n 2 s i n 2 ⁡ θ i + n 2 = 0 θ i = s i n - 1 ⁡ n 1 - 1 - 1 n 2

Passo 4

Letra b:

Avalie θ i  para  n = 1.60

θ 1 = s i n - 1 ⁡ 1.6 1 - 1 - 1 ( 1.60 ) 2 = 48.5 ∘

Passo 5

Letra c:

Em (a), mostramos que:

x = 2 d t a n ⁡ θ r c o s ⁡ θ i

então,

θ r = s i n - 1 ⁡ n 1 n 2 sin ⁡ θ i θ r = s i n - 1 ⁡ 1 1.60 sin ⁡ 48.5 ∘ = 27.9 ∘ x = 2 ( 4.0 c m ) t a n ⁡ 27.9 ∘ c o s ⁡ 48.5 ∘ = 2.8 c m

Resposta

  1. θ i = sin - 1 ⁡ n 1 - 1 - 1 n 2
  2. 48.5 ∘
  3. = 2.8 c m
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