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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 83

Uma fonte sonora de frequência f e   se move com a velocidade em relação ao ar parado, em direção a um receptor que está se afastando com a velocidade u r em relação ao ar parado, longe da fonte. (a) Escreva uma expressão para a frequência recebida f r ' . (b) Use o resultado que ( 1   -   x ) - 1   ≈   1   +   x para mostrar que se u e e u r são pequenos em comparação com v , então a frequência recebida é aproximadamente

f r ' = 1 + u r e l v f e

Onde u r e l = u e - u r é a velocidade relativa ao receptor.

Passo 1

Nesse problema, tanto o emissor quanto o receptor se movem no mesmo sentido, por isso, a equação do efeito Doppler:

f r = v ± u r v ± u e f e

Terá os sinais tanto do numerador quanto do denominador negativos:

f r = v - u r v - u e f e

O que responde a letra (a)

Passo 2

Reescrevendo o ultimo resultado para respondermos (b):

f r = 1 - u r v 1 - u e v f e = 1 - u r v 1 - u e v - 1 f e

E como o enunciado nos diz para fazer a aproximação pela expansão binominal:

1 - u e v - 1 ≈ 1 + u e v

Ficamos com:

f r = 1 - u r v 1 + u e v f e

Resolvendo o produto:

f r = 1 + u e v - u r v - u r v u e v f e

E se u r e u e são pequenos comparados a v , o produto do final pode ser aproximado a zero, ficamos com:

f r ≈ 1 + u e - u r v f e

E como:

u r e l = u e - u r

Finalmente mostramos que:

f r ≈ 1 + u r e l v f e

Resposta

( a ) f r = v - u r v - u e f e

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