A função onda radial normalizada, Equação 41.2, para o estado 2 p do átomo de hidrogênio é R 2 p = 1 / 24 a 5 r e - r / 2 a . Depois de fazermos a média das variáveis angulares, a função de probabilidade radial torna-se P r d r = R 2 p 2 r 2 d r . Em que valor de r a função P ( r ) é um máximo para o estado 2 p ? Compare seus resultados com o raio do estado n = 2 no modelo de Bohr.

Passo 1

Para descobrirmos qual valor de r a função P ( r ) é um máximo para o estado 2 p , podemos derivar P ( r ) em relação a r e igualar a zero.

O valor de P ( r ) é:

P r = 1 24 a 5 r 4 e - r / 2 a

Passo 2

Calculando a derivada e igualando a zero.

d P d r = 1 24 a 5 4 r 3 - r 4 a e - r 2 a = 0

Portanto d P / d r será igual a zero somente quando o termo 4 r 3 - r 4 a for igual a zero. Desta forma temos:

4 r 3 - r 4 a = 0

4 r 3 = r 4 a

r = 4 a

Passo 3

No modelo de Bohr temos que r n = n 2 a , então para n = 2 teriamos:

r = 4 a

Concordando com o resultado que encontramos.

Resposta

r = 4 a

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