48. Suponha que a incerteza na posição de um elétron seja igual ao raio da órbita n = 1 do modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. Calcule a incerteza mínima na determinação do componente correspondente do momento linear e compare o resultado com o módulo do momento linear do elétron na órbita n = 1 do modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. Discuta seus resultados.

Passo 1

Primeiro, temos que o raio do modelo de Bohr é dado por:

m v r = n h 2 π

Para n = 1 , temos:

m v r = h 2 π

⇒ m v = h 2 π r

E sabemos que o momento é dado por:

p = m v

Então:

p = h 2 π r

O princípio da incerteza da posição do momento e da posição é dada por:

Δ x Δ p = h 2 π

O enunciado pede para considerarmos Δ x = r o raio do átomo de Bohr para n = 1 , e esse raio vale 5,29 ⋅ 10 - 11   m .

Passo 2

Temos o seguinte então:

Δ x Δ p = h 2 π

⇒ Δ p = h 2 π Δ x

Substituindo o que sabemos temos que:

Δ p = 6,626 ⋅ 10 - 34 2 π ( 5,29 ⋅ 10 - 11 )

⇒ Δ p = 0,199 ⋅ 10 - 23   k g ⋅ m / s

Passo 3

Como mostramos no passo 1 o momento do átomo de Bohr é dado por:

p = h 2 π r

Se substituirmos os valores encontraremos a mesma coisa que encontramos no passo anterior pelo princípio da incerteza.

Como eles são iguais, princípio da incerteza desempenha um grande papel na estrutura dos átomos.

Resposta

Δ p = 0,199 ⋅ 10 - 23   k g ⋅ m / s

Como eles são iguais, princípio da incerteza desempenha um grande papel na estrutura dos átomos.

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