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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 7

As galáxias mais distantes que podem ser vistas pelo telescópio Hubble estão se afastando de nós e têm um parâmetro de redshift de cerca de z = 5. (O parâmetro de redshift z é definido como (f - f ') / f', onde f é o frequência medida no quadro de repouso do emissor e f 'é a frequência medida no quadro de repouso do receptor.) (a) Qual é a velocidade dessas galáxias em relação a nós (expressa como uma fração da velocidade da luz) ? (b) A lei de Hubble afirma que a velocidade de recessão é dada pela expressão v = Hx, onde v é a velocidade de recessão, x é a distância, e H, a constante de Hubble, é igual a 75 km / s / Mpc, onde 1 pc = 3,26 c⋅a. (A abreviatura de parsec é pc.) Estime a distância dessa galáxia de nós usando as informações fornecidas.

Passo 1

(a) Fala aee, tranquilo?? Vamos dar uma olhada nessa questão.

Estamos lidando com o redshift, que é dado por:

z = f 0 - f ' f '

Onde podemos relacionar as frequências pelo efeito Doppler relativístico:

f ' = f 0 1 - v c 1 + v c

Assim:

z = f 0 - f 0 1 - v c 1 + v c f 0 1 - v c 1 + v c = 1 - 1 - v c 1 + v c 1 - v c 1 + v c

z = 1 1 - v c 1 + v c - 1 - v c 1 + v c 1 - v c 1 + v c

z = 1 + v c 1 - v c - 1

∴

z + 1 = 1 + v c 1 - v c

Se fizermos u = z + 1 , para ficar mais organizado:

u = 1 + v c 1 - v c

u 2 = 1 + v c 1 - v c

u 2 - u 2 v c = 1 + v c

u 2 - 1 = v c + u 2 v c

u 2 - 1 = v c ( 1 + u 2 )

∴

v c = u 2 - 1 u 2 + 1

Voltando com u = z + 1 :

v c = ( z + 1 ) 2 - 1 ( z + 1 ) 2 + 1

Como z = 5 :

v c = ( 5 + 1 ) 2 - 1 ( 5 + 1 ) 2 + 1

Assim, a velocidade expressa como uma fração da velocidade da luz será:

v c = 0,946

∴

v = 0,946 c

Passo 2

(b) Para achar a distância para a galáxia, podemos usar a lei de Hubble e isolar a distância x :

v = H x

x = v H

Assim, como H = 75 k m / s M p c × M p c 3,26 × 10 6 c ∙ a :

x = 0,946 c 75 k m / s M p c   × 3,26 × 10 6 c ∙ a M p c

∴

x = 12,3   G c ∙ a

Pronto!! Terminou!

Resposta

(a) 0,946 c

(b) 12,3   G c ∙ a

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