A relatividade e a equação de onda.

  1. Considere uma transformação galileana ao longo do eixo o x : x ' - v t e t ' = t . No sistema de referência S, a equação da propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo é dada por.
  2. ∂ 2 E x , t ∂ x 2 - 1 c 2 ∂ 2 E x , t ∂ t 2 = 0

    Onde E representa o campo elétrico da onda. Mostre que, usando uma transformação galileana no sistema de referência S’, obtemos

    1 - v 2 c 2   ∂ 2 E x ' , t ' ∂ x ' 2 + 2 v c 2 ∂ 2 E x ' , t ' ∂ x ' ∂ t ' - 1 c 2 ∂ 2 E x ' , t ' ∂ t ' 2 = 0

    A forma da equação anterior é diferente da forma da equação da onda no sistema S. Logo a transformação gelileana viola o primeiro postulado da relatividade segundo o qual todas as leis físicas devem possuir a mesma forma em todos os sistemas de referencia inerciais. (Sugestão): usando a regra da cadeia, expresse as respetivas derivadas parciais ∂ ∂ x e ∂ ∂ t em termos de ∂ ∂ x ' e ∂ ∂ t ' .)

  3. Repita a análise do item (a) usando agora as transformações de Lorentz dadas pelo conjunto das equações (37.21) e mostre que no sistema de referencia S ‘ a equação da onda possui a mesma forma da equação da onda no sistema S .

  ∂ 2 E x ' , t ' ∂ x ' 2 - 1 c 2 ∂ 2 E x ' , t ' ∂ t ' 2 = 0

Explique por que esse resultado mostra que a velecidade da luz no váuo é igual a c tanto no sistema de referencia   S ’ quanto no sistema S.

Passo 1

Para uma função f = f x , t e x = x ( x ' , t ' ) , t = t ( x ' , t ' ) torna as funções F x ' , t ' = f ( x x ' , t ' , t ( x ' , t ' ) ) . Sendo assim F x ' , t ' = f x ' , t '

Desenvolvendo a regrada cdeira, teremos.

∂ f x ' , t ' ∂ x = ∂ f x , t ∂ x ' ∂ x ' ∂ x + ∂ f x ' , t ' ∂ t ' ∂ t ' ∂ x

∂ f ( x ' , t ' ) ∂ t = ∂ f ( x , t ) ∂ x ' ∂ x ' ∂ t + ∂ f ( x ' , t ' ) ∂ t ' ∂ t ' ∂ t

Temos que

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x ' ∂ x ' ∂ x + ∂ f ∂ t ' ∂ t ' ∂ x                   e                                     ∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ' ∂ x ' ∂ t + ∂ f ∂ t ' ∂ t ' ∂ t

  1. ∂ x ' ∂ x = 1 ,   ∂ x ' ∂ t = - v , ∂ t ' ∂ x = 0   e   ∂ t ' ∂ t = 0 . Ou seja.

    ∂ E ∂ x = ∂ y ∂ x '           e           ∂ ² E ∂ x ² = ∂ ² E ∂ x ' ²

    A derivada no tempo será:

    ∂ E ∂ t = - v ∂ E ∂ x ' + ∂ E ∂ t '

    Para encontrar a segunda derivada, a regra da cadeia deve ser aplicada nos dois termos. Sendo assim.

    ∂ ∂ t ∂ E ∂ x ' = - v ∂ 2 E ∂ x ' 2 + ∂ 2 E ∂ t ' ∂ x '

    ∂ ∂ t ∂ E ∂ t ' = - v ∂ ² E ∂ x ' ∂ t ' + ∂ ² E ∂ t ' ²

    As derivadas parciais serão

    ∂ ² E ∂ t ² = v ² ∂ 2 E ∂ x ' 2 - 2 v ∂ ² E ∂ x ' ∂ t ' + ∂ ² E ∂ t ' ²

    Substituindos os termos e simplificando a equação, temos que.

    ∂ ² E ∂ t ² = ∂ ² E ∂ x ²

    Passo 2

  2. A transformações Lorentz.

∂ x ' ∂ x = γ ,   ∂ x ' ∂ t = - γ v , ∂ t ' ∂ x = γ v / c ²   e   ∂ t ' ∂ t = γ

A primeira parcial será

∂ E ∂ x = γ ∂ E ∂ x ' - γ v c 2 ∂ E ∂ t '

∂ E ∂ t = - γ v ∂ E ∂ x ' + γ ∂ E ∂ t '

A seguda parcial será

∂ ² E ∂ x ² = γ ² ∂ 2 E ∂ x ' 2 - γ ² v 2 c 4 ∂ 2 E ∂ t ' 2 - 2   γ ² v 2 c 2 ∂ 2 E ∂ x ' ∂ t '

∂ ² E ∂ t ² = γ ² v ² ∂ 2 E ∂ x ' 2 + γ ² ∂ ² E ∂ t ' ² - 2   γ ² v ∂ 2 E ∂ x ' ∂ t '

Substituindo as equações da onda e cancelando alguns termos

∂ ² E ∂ x ² - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = γ ² 1 - v 2 c 2   ∂ 2 E ∂ x ' 2 + γ 2 v 2 c 4 - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t ' ²

∂ ² E ∂ x ² - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = ∂ 2 E ∂ x ' 2 - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t ' 2 = 0

Resposta

  1. ∂ ² E ∂ t ² = ∂ ² E ∂ x ²
  2. ∂ ² E ∂ x ² - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0
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