Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas Desafiadores - Ex. 76

A relatividade e a equação de onda.

  1. Considere uma transformação galileana ao longo do eixo o x : x ' - v t e t ' = t . No sistema de referência S, a equação da propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo é dada por.

    2. ∂ 2 E x , t ∂ x 2 - 1 c 2 ∂ 2 E x , t ∂ t 2 = 0

    Onde E representa o campo elétrico da onda. Mostre que, usando uma transformação galileana no sistema de referência S’, obtemos

    1 - v 2 c 2   ∂ 2 E x ' , t ' ∂ x ' 2 + 2 v c 2 ∂ 2 E x ' , t ' ∂ x ' ∂ t ' - 1 c 2 ∂ 2 E x ' , t ' ∂ t ' 2 = 0

    A forma da equação anterior é diferente da forma da equação da onda no sistema S. Logo a transformação gelileana viola o primeiro postulado da relatividade segundo o qual todas as leis físicas devem possuir a mesma forma em todos os sistemas de referencia inerciais. (Sugestão): usando a regra da cadeia, expresse as respetivas derivadas parciais ∂ ∂ x e ∂ ∂ t em termos de ∂ ∂ x ' e ∂ ∂ t ' .)

  2. Repita a análise do item (a) usando agora as transformações de Lorentz dadas pelo conjunto das equações (37.21) e mostre que no sistema de referencia S ‘ a equação da onda possui a mesma forma da equação da onda no sistema S .

  ∂ 2 E x ' , t ' ∂ x ' 2 - 1 c 2 ∂ 2 E x ' , t ' ∂ t ' 2 = 0

Explique por que esse resultado mostra que a velecidade da luz no váuo é igual a c tanto no sistema de referencia   S ’ quanto no sistema S.

Passo 1

Para uma função f = f x , t e x = x ( x ' , t ' ) , t = t ( x ' , t ' ) torna as funções F x ' , t ' = f ( x x ' , t ' , t ( x ' , t ' ) ) . Sendo assim F x ' , t ' = f x ' , t '

Desenvolvendo a regrada cdeira, teremos.

∂ f x ' , t ' ∂ x = ∂ f x , t ∂ x ' ∂ x ' ∂ x + ∂ f x ' , t ' ∂ t ' ∂ t ' ∂ x

∂ f ( x ' , t ' ) ∂ t = ∂ f ( x , t ) ∂ x ' ∂ x ' ∂ t + ∂ f ( x ' , t ' ) ∂ t ' ∂ t ' ∂ t

Temos que

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x ' ∂ x ' ∂ x + ∂ f ∂ t ' ∂ t ' ∂ x                   e                                     ∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ' ∂ x ' ∂ t + ∂ f ∂ t ' ∂ t ' ∂ t

  1. ∂ x ' ∂ x = 1 ,   ∂ x ' ∂ t = - v , ∂ t ' ∂ x = 0   e   ∂ t ' ∂ t = 0 . Ou seja.

    ∂ E ∂ x = ∂ y ∂ x '           e           ∂ ² E ∂ x ² = ∂ ² E ∂ x ' ²

    A derivada no tempo será:

    ∂ E ∂ t = - v ∂ E ∂ x ' + ∂ E ∂ t '

    Para encontrar a segunda derivada, a regra da cadeia deve ser aplicada nos dois termos. Sendo assim.

    ∂ ∂ t ∂ E ∂ x ' = - v ∂ 2 E ∂ x ' 2 + ∂ 2 E ∂ t ' ∂ x '

    ∂ ∂ t ∂ E ∂ t ' = - v ∂ ² E ∂ x ' ∂ t ' + ∂ ² E ∂ t ' ²

    As derivadas parciais serão

    ∂ ² E ∂ t ² = v ² ∂ 2 E ∂ x ' 2 - 2 v ∂ ² E ∂ x ' ∂ t ' + ∂ ² E ∂ t ' ²

    Substituindos os termos e simplificando a equação, temos que.

    ∂ ² E ∂ t ² = ∂ ² E ∂ x ²

    Passo 2

  2. A transformações Lorentz.

∂ x ' ∂ x = γ ,   ∂ x ' ∂ t = - γ v , ∂ t ' ∂ x = γ v / c ²   e   ∂ t ' ∂ t = γ

A primeira parcial será

∂ E ∂ x = γ ∂ E ∂ x ' - γ v c 2 ∂ E ∂ t '

∂ E ∂ t = - γ v ∂ E ∂ x ' + γ ∂ E ∂ t '

A seguda parcial será

∂ ² E ∂ x ² = γ ² ∂ 2 E ∂ x ' 2 - γ ² v 2 c 4 ∂ 2 E ∂ t ' 2 - 2   γ ² v 2 c 2 ∂ 2 E ∂ x ' ∂ t '

∂ ² E ∂ t ² = γ ² v ² ∂ 2 E ∂ x ' 2 + γ ² ∂ ² E ∂ t ' ² - 2   γ ² v ∂ 2 E ∂ x ' ∂ t '

Substituindo as equações da onda e cancelando alguns termos

∂ ² E ∂ x ² - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = γ ² 1 - v 2 c 2   ∂ 2 E ∂ x ' 2 + γ 2 v 2 c 4 - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t ' ²

∂ ² E ∂ x ² - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = ∂ 2 E ∂ x ' 2 - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t ' 2 = 0

Resposta

  1. ∂ ² E ∂ t ² = ∂ ² E ∂ x ²
  2. ∂ ² E ∂ x ² - 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Certos comprimentos de onda da luz de uma galáxia da constelação da Virgem são 0,4 % maiores que a luz correspondente produzidas por fontes terrestres. (a) Qual é a velocidade radial da galáxia em rel
Supornha que a equação 37-36 possa ser aplicada, determine com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal vermelho para que o sinal parecesse verde. Tome 620n m como o comprimento da on
A figura 37-27 mostra um gráfico da intensidade em função do comprimento de onda da luz emitida pela galáxia NCG 7319, que está a aproximadamente 3 ⋅ 10 8a n o s - l u z da Terra. O pico mais intenso
Uma lâmpada de sódio está se movendo em círculos em um plano horizontal, com uma velocidade constante de 0,1c, enquanto emite luz com um comprimento de onda próprio λ 0 = 589n m . Um detector situado
26. Mostre que, se uma fonte de ondas eletromagnéticas se afasta de nós com velocidade igual a 0,600 c , a frequência que medimos é igual à metade da frequência mediada no sistema no qual a fonte está