Enunciado

A luz é emitida por uma amostra de sódio que está se movendo em direção à Terra com velocidade v. O comprimento de onda da luz é 589 nm no quadro de repouso da amostra. O comprimento de onda medido no referencial da Terra é 547 nm. Encontre v.

Passo 1

Fala aee! Beleza?

Podemos substituir, usando c = f λ , na equação de deslocamento Doppler relativística e resolver para a velocidade da fonte.

Então, usando a expressão para o deslocamento Doppler relativístico, vamos colocar f ' como uma função de v :

f ' = f 1 + v c 1 - v c

Fazendo a substituição que falei:

c λ ' = c λ 1 + v c 1 - v c

λ λ ' = 1 + v c 1 - v c

Elevando os dois lados ao quadrado:

λ λ ' 2 = 1 + v c 1 - v c

Passo 2

Agora é só isolar v e substituir os valores:

λ λ ' 2 = c + v c c - v c = c + v c - v

λ λ ' 2 c - v = c + v

λ λ ' 2 c - λ λ ' 2 v = c + v

λ λ ' 2 c - c = v + λ λ ' 2 v

v 1 + λ λ ' 2 = c λ λ ' 2 - 1

v = c λ λ ' 2 - 1 λ λ ' 2 + 1

Assim:

v = ( 2,998 × 10 8   m / s ) 589 × 10 - 9   m 547 × 10 - 9   m 2 - 1 589 × 10 - 9   m 547 × 10 - 9   m 2 + 1

v = 2,22 × 10 7 m / s

Prontinho!!

Resposta

2,22 × 10 7 m / s

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