20. Obtenha as expressões não-relativísticas do efeito Doppler a parti da invariância da fase de uma onda plana, usando a transformação de Galileu.

Passo 1

Então galera vamos para mais uma!

Para esse problema como o próprio enunciado fala vamos usar a invariância da fase de uma onda plana.

Só que como queremos o efeito não relativístico, não poderemos considerar ondas com velocidades c de propagação, mas com uma velocidade v .

Para esse problema vamos usar a equação 6.62 para fase. Mas para facilitar nossa vida vamos considerar apenas a componente x da onda viajando na direção x , assim a equação fica da seguinte maneira:

F = ν t ∓ u ^ ⋅ x → v

Onde o sinal " - " indica que a onda está se propagando na direção positiva de x e o sinal " + " indica que a onda está se propagando no sentido negativo.

Onde u ^ = ( 1,0 , 0 ) e x = ( x , 0,0 ) para a situação que propus, assim temos que:

F = ν t ∓ x v

Essa é a fase no referencial parado, a fase no referencial em movimento com uma velocidade V é dada por:

F ' = ν ' t ' ∓ x ' v

E segundo a invariância de fase temos que F = F ' .

Vamos então usar a transformação de galileu na fase F e ir mexendo para ver o que encontramos.

As transformações de Galileu são dadas por:

x = x ' + V t '

t = t '

Passo 2

Agora vamos aplicar essas transformações na fase F , temos que:

F = ν t ∓ x v

= ν t ' ∓ x ' + V t ' v

= ν 1 ∓ β t ' ∓ x ' v

Onde β = V / v .

Isso tem que ser igual a fase no outro referencial, dada por:

F = ν ' t ' ∓ x ' v

Para que essas expressões sejam iguais temos que:

ν ' = ν ( 1 ∓ β )

Que nada mais é que o efeito Doppler não relativístico.

Resposta

ν ' = ν ( 1 ∓ β )

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