Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 8
Um gás ideal, cujas moléculas têm massa , está em equilíbrio térmico à temperatura dentro de uma ultracentrífuga de raio que gira com velocidade angular . (a) Ache a razão da densidade do gás junto às paredes à densidade no eixo da ultracentrífuga (Sugestão: use o conceito de “potencial centrífugo” discutido na seção 1.4). (b) Calcule o valor numérico desssa razão se o gás é oxigênio , , e a frequência de rotação é .
Passo 1
(a) Vamos seguir a sugestão do enunciado. Voltando lá no capítulo pra rever esse “potencial centrífugo”, a gente chega na seguinte fórmula:
A únia diferença em relação à equação que está no livro é que a gente usou a energia em si, e não a densidade de energia, por isso o virou .
E também colocamos uma constante , que é a energia potencial “inicial”.
Essa constante não deveria fazer diferença no resultado final, porque é simplesmente uma escolha de referencial.
Passo 2
Ok, agora que a gente tem uma forma de medir a energia associada a cada distância em relação ao eixo da centrífuga, a gente pode fazer o seguinte:
Usar a distribuição de Boltzmann pra calcular a probabilidade de encontrar as moléculas em cada posição!
Quando estamos colados nas paredes (), ficamos com:
E quando estamos no eixo da centrífuga ():
Passo 3
Agora pensa o seguinte: a probabilidade de encontrar as partículas em uma certa região é proporcional à densidade do gás naquela região, certo?
Então a gente pode igualar essas duas razões aqui:
E agora é só substituir as expressões:
Vamos separar a exponencial de cima em duas:
Passo 4
(b) Nesse item a gente só precisa substituir alguns valores numéricos:
Já que estamos falando de gás oxigênio (), a massa de cada molécula é:
E cada unidade de massa atômica tem :
Como a frequência é de , a frequência angular é:
E as outras grandezas já foram dadas no enunciado:
Resposta
(a) .
(b) No caso mencionado a razão é .