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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 5

Calcule a razão R entre ⟨ 1 v ⟩ e 1 ⟨ v ⟩ para um gás ideal em equilíbrio térmico.

Passo 1

Vamos começar lembrando da fórmula para a velocidade média v :

v = 8 k T π m

De onde vem essa fórmula? É o seguinte, a gente pega a função da distribuição de Maxwell:

f v = 4 π v 2 m 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T  

E joga nessa integral aqui:

v = ∫ 0 ∞ f v v d v

E pra achar o valor de 1 / ⟨ v ⟩ é só inverter aquela primeira fórmula:

1 v = 1 8 k T π m = π m 8 k T

Então pra calcular ⟨ 1 / v ⟩ , nós vamos usar a mesma fórmula, mas a integral é:

1 / v = ∫ 0 ∞ f v 1 v d v

Passo 2

Beleza, então temos uma integral pra resolver:

1 / v = ∫ 0 ∞ f v 1 v d v

Vamos substituir com a fórmula para f v :

1 / v = ∫ 0 ∞ 4 π v 2 m 2 π k T 3 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T 1 v d v

1 / v = 4 π m 2 π k T 3 2 ∫ 0 ∞ v exp ⁡ - m v 2 2 k T d v

A fórmula pra resolver essa integral é essa aqui:

∫ x e - a x 2 d x = - 1 2 a e - a x 2

Então:

1 / v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 - 1 2 m 2 k T exp ⁡ - m v x 2 2 k T ∞ 0

1 / v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 - k T m exp ⁡ - m v x 2 2 k T ∞ 0

Quando v x tende ao infinito, aquela exponencial tende a zero, e quanto v x tende a 0 , a exponencial tende a 1 , então:

1 / v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 k T m

Passo 3

Pronto, já podemos calcular a razão R entre os dois valores:

R = ⟨ 1 / v ⟩ 1 / ⟨ v ⟩

R = 4 π m 2 π k T 3 / 2 k T m π m 8 k T

Vamos organizar um pouco essa fração:

R = 4 π m 2 π k T 3 / 2 8 k T π m 1 / 2 k T m  

R = 4 π 8 π 1 / 2   1 2 π 3 / 2 m k T 3 / 2 k T m 1 / 2 k T m  

Agora podemos os três últimos parênteses vão se cancelar:

R = 4 π 8 π 1 2   1 2 π 3 2  

Então:

R = 4 π 8 π 2 π 2 π = 2 8 2 π

R = 4 π

Pronto!

Resposta

A razão R é 4 / π .

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