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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 19.Problemas Adicionais - Ex. 65

Um gás ideal sofre uma compressão adiabática de p = 1,0   a t m , V = 1,0.10 6   L , T = 0,0 ° C para p = 1,0.10 5 a t m , V = 1,0.10 3   L . (a) O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? (b) Qual é a temperatura final? (c) Quantos mols do gás estão presentes? Qual é a energia cinética de translação por mol (d) antes e (e) depois da compressão? (f) Qual é a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão?

Passo 1

(a) Sempre que você ler “adiabática”, pense logo nessa fórmula aqui:

p i V i λ = p f V f λ

Muito provavelmente ela vai servir para alguma coisa. No nosso caso, precisamos encontrar o λ pra definirmos se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.

Então nosso primeiro objetivo é isolar o λ , começamos aplicando o logaritmo nos dois lados, e usando essas propriedades aqui:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + l n ⁡ ( y )

ln ⁡ x a = a . l n ⁡ ( x )

ln ⁡ x y = ln ⁡ x - l n ⁡ ( y )

Então beleza, vamos fazer isso:

ln ⁡ p i + λ . ln ⁡ V i = ln ⁡ p f + λ . l n ⁡ ( V f )

ln ⁡ p i - ln ⁡ p f = λ . ln ⁡ V f - ln ⁡ V i

λ = l n ⁡ ( p i / p f ) l n ⁡ ( V f / V i )

E agora é só substituir os valores que o enunciado já deu:

λ = l n ⁡ ( 1,0 / 10 5 ) l n ⁡ ( 10 3 / 10 6 ) = 5 3

Então beleza, isso quer dizer que o gás é monoatômico, porque só nesse caso:

λ = C P C V = 5 2 R 3 2 R = 5 3

Ok, vamos em frente.

Passo 2

(b) Agora queremos a temperatura final do gás. O enunciado já deu pressão, volume e temperatura iniciais, e pressão e volume finais.

Ótimo, agora é só usar a lei dos gases ideais pra completar isso.

p i V i T i = p f V f T f

T f = p f V f p i V i T i

Só precisamos converter as unidades da temperatura, porque as outras vão ser cortadas de qualquer jeito.

T i = 0 ° C = 273   K

T f = 10 5 10 3 1,0 10 6 ( 273 )

T f = 273   .   10 2

T f = 2,7   .   10 4   K

Isso é cinco vezes mais quente do que a superfície do sol! É um pouco estranho, mas são os valores que a questão deu... E a matemática está toda certa.

Passo 3

(c) O número de mols aparece em uma fórmula que conhecemos muito bem:

p V = n R T

Se aplicarmos isso ao estado inicial do gás, por exemplo:

p = 1,01   .   10 5   P a

V = 1,0   .   10 6   L = 1,0   .   10 3   m 3

T = 0,0 ° C = 273   K

1,01.10 5 1,0.10 3 = n ( 8,31 ) ( 273 )

n = 1,01.10 5 1,0.10 3 ( 8,31 ) ( 273 ) = 4,5   .   10 4   m o l

Passo 4

(d) A fórmula da energia cinética de translação, no caso desse gás monoatômico é:

K = 3 2 R T

Ou seja, só depende da temperatura. Antes da compressão a energia era:

K = 3 2 8,31 273 = 3,4   .   10 3   J

Passo 5

(e) E depois da compressão:

K = 3 2 R T f = 3 2 8,31 2,7.10 4 = 3,4   .   10 5   J

Passo 6

(f) Agora vamos lá, qual é a velocidade média quadrática antes da compressão:

v r m s = 3 R T i M

E depois:

V r m s = 3 R T f M

A razão entre os quadrados das duas vai ser:

v r m s 2 V r m s 2 = 3 R T i M 2 3 R T f M 2

v r m s 2 V r m s 2 = 3 R T i M 3 R T f M = T i T f

v r m s 2 V r m s 2 = 273 2,7   .   10 4 ≅ 1,0   .   10 - 2

Resposta

(a) O gás é monoatômico.

(b) T f = 2,7   .   10 4   K .

(c) n = 4,5   .   10 4   m o l .

(d) K = 3,4   .   10 3   J .

(e) K = 3,4   .   10 5   J .

(f) 1,0   .   10 - 2 .

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