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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas Desafiadores - Ex. 98

Uma gota de chuva com massa variável. Em um problema de propulsão de um foguete, a massa é variável. Outro problema com massa variável é fornecido por uma gota de chuva caindo no interior de uma nuvem que contém muitas gotas minúsculas. Algumas dessas gotículas aderem à gota que cai, fazendo, portanto, aumentar sua massa à medida que ela cai. A força sobre a gota de chuva é dada por

F e x t = d p d t = m d v d t + v d m d t

Suponha que a massa da gota de chuva dependa da distância x percorrida durante sua queda. Então m = kx, onde k é uma constante, portanto dm/dt = kv. Como F e x = m g , obtemos

m g = m d v d t + v k v

Ou, dividindo por k

x g = x d v d t + v 2

Essa equaçăo diferencial possui uma soluçăo na forma v = a t , onde a é uma aceleração constante. Considere a velocidade inicial da gota igual a zero.

  1. Usando a solução proposta para v, determine a aceleração a.
  2. Calcule a distância percorrida pela gota até o instante t=3,0s
  3. Sabendo que k = 2g/m, ache a massa da gota de chuva para t=3,0s. Para muitos outros aspectos intrigantes deste problema veja o artigo de K. S. Krane, Amer. Jour. Phys. Vol. 49 (1981), p. 113-117.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui juntos?

Vem comigo e vamos passo a passo!!!

Letra a:

Vamos usar x - x 0 = v 0 t + 1 2 a t 2 .

Temos d v d t = a ,     v = a t   e   x = 1 2 a t 2 . Substituindo em x g = x d v d t + v 2 , temos:

1 2 a t 2 g = 1 2 a t 2 a + a 2 t 2 = 3 2 a 2 t 2 .

a = g 3

Passo 2

Letra b:

x = 1 2 a t 2 = 1 6 g t 2 = 1 6 9.80 m s 2 ( 3.00 s ) 2 = 14.7 m

Passo 3

Letra c:

m = k x = 2.00 g m 14.7 m = 29.4 g

A aceleração é menor que g porque as pequenas gotas de água estão inicialmente em repouso, antes de aderirem à gota que cai. As pequenas gotas são suspensas por forças de empuxo que ignoramos para as gotas de chuva.

Resposta

  1. a = g 3
  2. 14.7 m
  3. 29.4 g

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