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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas Desafiadores - Ex. 95

Na Seção 8.5 calculamos o centro de massa considerando objetos compostos por um número finito de massas puntiformes ou objetos que por simetria pudessem ser representados por um número finito de massas puntiformes. Para um objeto cuja distribuição de massas não permite uma determinação simples do centro de massa mediante considerações de simetria, as somas indicadas nas equaçōes (8.28) devem ser generalizadas para integrais:

x c m = 1 M ∫ x d m

y c m = 1 M ∫ y d m

onde x e y são as coordenadas de uma pequena porção do objeto de massa dm. A integração é feita sobre o volume total do objeto. Considere uma barra delgada de comprimento L, massa M e seja A a área da seção reta da barra. Suponha um sistema de coordenadas com origem na extremidade esquerda da barra e com o eixo +Ox ao longo da barra.

  1. Sabendo que a densidade ρ = M / V do objeto é uniforme, integre as relações anteriores para mostrar que a coordenada x do centro de massa da barra coincide com o seu centro
  2. Sabendo que a densidade varia linearmente com x, ou seja, ρ = α x , onde α é uma constante positiva, determine a coordenada x do centro de massa da barra.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui juntos?

Vem comigo e vamos passo a passo!!!

Letra a:

Temos d m = ρ d V   e   d V = A d x e a massa da barra é dada por M = ∫ d m .

x c m = 1 M ∫ 0 L   x d m = ρ M A ∫ 0 L   x d x = ρ A M L 2 2

O volume da barra é A L   e   M = ρ A L .

x c m = = ρ A L 2 2 ρ A L = L 2

O centro de massa da barra uniforme está em seu centro geométrico, a meio caminho entre suas extremidades.

Passo 2

Letra b:

x c m = 1 M ∫ 0 L   x d m = 1 M ∫ 0 L   x ρ A d x = A α M ∫ 0 L   x 2 d x = A α L 3 3 M

M = ∫ d m = ∫ 0 L   ρ A d x = α A ∫ 0 L   x d x = α A L 2 2

Então,

x c m = A α L 3 3 2 α A L 2 = 2 L 3

Resposta

  1. L 2
  2. 2 L 3

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