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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 4.Exercícios e Problemas - Ex. 16

Um índio atira flechas com a velocidade de 30 m/s. Com quem inclinação θ deve ele atirar uma flecha se pretende atingir um ponto, à mesma altitude em que se encontra e à distância de 65 m, de forma que a trajetória tenha o menor comprimento possível?

Passo 1

Meus queridos...

Vamos chamar de D a distância do ponto inicial até o ponto final da trajetória.

D = v o ∙ cos ⁡ φ ∙ t T

Onde t T é o tempo total.

Sabemos que:

t T = t s + t q

Tal que:

t s = t q ⇒ t T = 2 t s

Também sabemos que:

t s = v o g s e n ( φ )

Vamos substituir na equação original!

D = v o ∙ cos ⁡ φ ∙ 2 ∙ v o g s e n ( φ )

D = 2 v o 2 g s e n φ cos ⁡ φ

Vamos isolar s e n φ cos ⁡ φ :

s e n φ cos ⁡ φ = g ∙ D 2 v o 2

Sabemos que:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 - s e n 2 ( θ )

Então:

s e n φ 1 - s e n 2 ( φ ) = g ∙ D 2 v o 2

Passo 2

Como vocês podem observar, encontramos uma equação trigonométrica!

Vamos aplicar os valores fornecidos pela questão para prosseguirmos.

s e n φ 1 - s e n 2 ( φ ) = 0,36

s e n 2 φ 1 - s e n 2 φ = 0,13

s e n 2 φ - s e n 4 φ = 0,13

s e n 4 φ - s e n 2 φ + 0,13 = 0

Vamos adotar a seguinte substituição:

s e n 2 φ = x

Portanto:

x 2 - x + 0,13 = 0

100 x 2 - 100 x + 13 = 0

Após resolver essa equação do segundo grau, encontramos:

x = 100 ± 4800 200

Porém, atentem-se: a questão nos pede o menor valor possível!

Então, vamos aceitar só a raiz:

x = 100 - 4800 200 = 0,16

Lembrando:

s e n 2 φ = 0,16

s e n φ = 0,4

Consultando uma tabela, encontraremos que, aproximadamente:

φ = 23,6 °

Resposta

φ = 23,6 °

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