1. Mostre que a função de onda dada pela equação é uma solução para a equação de Shröedinger em três dimensões, equação , com energia dada pela equação .
2. Quais são as energias do nível fundamental e dos dois níveis excitados mais baixos? Qual é a degeneração de cada um desses níveis? (inclua o fator na degeneração correspondendo aos dois estados possíveis para o spin.)

A função de onda dada é:

As derivadas vão acabar sendo iguais, a não ser pela variável e por uma constante na frente, pois essa função aí é um produto de funções oscilatórias, e as derivadas se repetem. Vou fazer pra variável e você vai ver como vai ser igual pra e .

Derivando primeiro em função a :

E derivando de novo em :

Viu como a parte das funções oscilatórias é a mesma? Então podemos colocar a derivada em função da própria função de onda:

E a mesma coisa vai acontecer pra e pra . Só com a diferença que ao invés de termos , vamos ter e , sacou?

Então as derivadas parciais vão ficar assim:

Agora vamos resgatar a equação de Shröedinger lá do passo e substituir as derivadas parciais do passo anterior:

Como temos um sinal de do lado de fora dos colchetes, ele vai alterar o sinal de todos os termos de dentro. Outra coisa, você percebe que em todos os termos do lado esquerdo tem ? Então isso significa que podemos colocá-lo em evidência e cancelar com o do outro lado! Saca só:

Isso significa que a função de onda dada pela expressão satisfaz a equação .

E agora podemos cancelar dos dois lados e achar a energia!

E essa é a equação de energia!

Letra b)

O número quântico admite valores inteiros positivos a partir de . Então o nível de energia fundamental é quando e a energia associada a esse estado é:

Nenhuma combinação dá a mesma energia. Sendo assim temos apenas a degenerescência do spin que é .

Para o primeiro estado excitado temos que um dos valores de deve ser , os outros devem ser . O número pode estar em qualquer uma das três posições distintas que o sistema terá a mesma energia: isso caracteriza o estado degenerado! Quando uma combinação diferente de números quânticos fornece a mesma degenerescência. Sendo assim podemos ter:

Então em questão de energia temos estados degenerados. E contando que cada um desses estados tem duas opções para o spin, então a degenerescência é .

E a energia do primeiro estado excitado é:

Agora para o segundo estado excitado temos que dois números quânticos devem ser iguais a e o outro igual a . Novamente aqui temos que a posição desse tem três alternativas:

Então temos em energia três estados degenerados. Contamos também a degenerescência do spin, então para cada um desses três estados, cada um pode ser up ou down. Logo temos também um nível de energia com .

A energia do segundo estado excitado vai ser: