Enunciado

  1. Mostre que a função de onda ψ dada pela equação 42.10 é uma solução para a equação de Shröedinger em três dimensões, equação 40.29 , com energia dada pela equação 42.11 .
  2. Quais são as energias do nível fundamental e dos dois níveis excitados mais baixos? Qual é a degeneração de cada um desses níveis? (inclua o fator 2 na degeneração correspondendo aos dois estados possíveis para o spin.)

Passo 1

Letra a)

Olá, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Primeiro vamos relembrar qual é a equação de Shröedinger tridimensional:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2   + U ψ = E ψ

Para elétrons livres U = 0 , então a equação que precisamos satisfazer é essa aqui:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2   = E ψ

Então precisamos determinar as derivadas segundas em todas as dimensões e jogar de volta nessa equação pra verificar se a função de onda dada é solução.

Passo 2

A função de onda dada é:

ψ = A s e n n x π x L s e n n y π y L s e n n z π z L

As derivadas vão acabar sendo iguais, a não ser pela variável e por uma constante na frente, pois essa função aí é um produto de funções oscilatórias, e as derivadas se repetem. Vou fazer pra variável x e você vai ver como vai ser igual pra y e z .

Derivando primeiro em função a x :

∂ ψ ∂ x = n x π L A   c o s n x π x L s e n n y π y L s e n n z π z L

E derivando de novo em x :

∂ 2 ψ ∂ x 2 = - n x π L 2 A   s e n n x π x L s e n n y π y L s e n n z π z L

Viu como a parte das funções oscilatórias é a mesma? Então podemos colocar a derivada em função da própria função de onda:

∂ 2 ψ ∂ x 2 = - n x π L 2 A   s e n n x π x L s e n n y π y L s e n n z π z L = - n x π L 2 ψ

E a mesma coisa vai acontecer pra y e pra z . Só com a diferença que ao invés de termos n x , vamos ter n y e n z , sacou?

Então as derivadas parciais vão ficar assim:

∂ 2 ψ ∂ x 2 = - n x π L 2 ψ

∂ 2 ψ ∂ y 2 = - n y π L 2 ψ

∂ 2 ψ ∂ z 2 = - n z π L 2 ψ

Passo 3

Agora vamos resgatar a equação de Shröedinger lá do passo 1 e substituir as derivadas parciais do passo anterior:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2   = E ψ

- ℏ 2 2 m - n x π L 2 ψ - n y π L 2 ψ - n z π L 2 ψ = E ψ

Como temos um sinal de do lado de fora dos colchetes, ele vai alterar o sinal de todos os termos de dentro. Outra coisa, você percebe que em todos os termos do lado esquerdo tem ψ ? Então isso significa que podemos colocá-lo em evidência e cancelar com o ψ do outro lado! Saca só:

ℏ 2 2 m n x π L 2 + n y π L 2 + n z π L 2 ψ = E ψ

Isso significa que a função de onda ψ dada pela expressão ψ = A s e n n x π x L s e n n y π y L s e n n z π z L satisfaz a equação 40.29 .

E agora podemos cancelar dos dois lados e achar a energia!

ℏ 2 2 m n x π L 2 + n y π L 2 + n z π L 2 = E

E = ℏ 2 π 2 2 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

E essa é a equação 42.11 de energia!

Passo 4

Letra b)

O número quântico n admite valores inteiros positivos a partir de 1 . Então o nível de energia fundamental é quando n x = n y = n z = 1 e a energia associada a esse estado é:

E 0 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 ℏ 2 π 2 2 m L 2

Nenhuma combinação dá a mesma energia. Sendo assim temos apenas a degenerescência do spin que é 2 .

Para o primeiro estado excitado temos que um dos valores de n deve ser 2 , os outros devem ser 1 . O número 2 pode estar em qualquer uma das três posições distintas que o sistema terá a mesma energia: isso caracteriza o estado degenerado! Quando uma combinação diferente de números quânticos fornece a mesma degenerescência. Sendo assim podemos ter:

n x , n y , n z = 1,1 , 2

n x , n y , n z = 1,2 , 1

n x , n y , n z = 2,1 , 1

Então em questão de energia temos 3 estados degenerados. E contando que cada um desses estados tem duas opções para o spin, então a degenerescência é 2.3 = 6 .

E a energia do primeiro estado excitado é:

E 1 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6 ℏ 2 π 2 2 m L 2

Agora para o segundo estado excitado temos que dois números quânticos devem ser iguais a 2 e o outro igual a 1 . Novamente aqui temos que a posição desse 1 tem três alternativas:

n x , n y , n z = 1,2 , 2

n x , n y , n z = 2,2 , 1

n x , n y , n z = 2,1 , 2

Então temos em energia três estados degenerados. Contamos também a degenerescência do spin, então para cada um desses três estados, cada um pode ser up ou down. Logo temos também um nível de energia com D = 6 .

A energia do segundo estado excitado vai ser:

E 2 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 ℏ 2 π 2 2 m L 2

Resposta

a )   ℏ 2 2 m n x π L 2 + n y π L 2 + n z π L 2 ψ = E ψ

b )   E 0 = 3 ℏ 2 π 2 2 m L 2 ,   D = 2

E 1 = 6 ℏ 2 π 2 2 m L 2 ,   D = 6

E 2 = 9 ℏ 2 π 2 2 m L 2 ,   D = 6

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