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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Exercícios - Ex. 20

Qual é o valor da constante A na equação 42.10 para que a função de onda ψ ( x , y , z ) seja normalizada?

Passo 1

Olá, Tudo bem? Para termos a função de onda normalizada, devemos integrar em todo intervalo (nas arestas do cubo, ou seja, de 0 até L , em todas as dimensões) de toda aquela função. Resgatando a função de onda lá do cap 42 teremos:

ψ x , y , z = A s e n n x π x L s e n n y π y L s e n n z π z L

O diferencial de volume, como estamos lidando com coordenadas retangulares vai ser o já conhecido d x d y d z =)

Beleza?

Passo 2

A constante de normalização é dada quando fazemos a probabilidade ser igual a 1 , assim ó:

∫ ψ 2 = 1

O módulo ao quadrado da função de onda é a multiplicação da função de onda ψ pelo seu complexo conjugado ψ * . Como a nossa função de onda é puramente real, o valor de ψ 2 vai ser simplesmente o quadrado da função mesmo.

Passo 3

Agora vamos juntar tudo isso numa integral só:

1 = ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L A 2 s e n 2 n x π x L s e n 2 n y π y L s e n 2 n z π z L d x d y d z

Mas calma! Cada uma dessas integrais é independente, e elas têm todas as mesmas caras! Então podemos separar os diferenciais e ficar com uma multiplicação de integrais todas iguais, saca só:

1 = A 2 ∫ 0 L s e n 2 n x π x L d x . ∫ 0 L s e n 2 n y π y L d y .   ∫ 0 L s e n 2 n z π z L d z

E resolvendo uma delas, é só aplicar o mesmo resultado pras outras.

Consultando numa tabela achamos a seguinte integral indefinida ó:

∫ s e n 2 x   d x = x 2 - 1 4 s e n ( 2 x )

Quando aplicamos os limites na parte da resposta que tem s e n ( 2 x ) ficamos com ou s e n ( 0 ) ou s e n ( n π ) e em ambos os resultados temos zero. Então só nos resta o resultado x / 2 , e que aplicado no limite inferior também é zero. Resumo da ópera: essa integralzona toda vale L / 2 para cada variável:

1 = A 2 . L 2 . L 2 . L 2

A 2 L 3 8 = 1

A 2 = 2 3 L 3

A = 2 L 2 / 3

Certinho?

Resposta

A = 2 L 2 / 3

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