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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 36.2 - Ex. 15

A largura total a meia altura (LTMA) de um máximo central de difração é definida como o ângulo entre os dois pontos nos quais a intensidade é igual à metade da intensidade máxima. (Veja a Fig. 36-8b.) (a) Mostre que a intensidade é metade da intensidade máxima para sin 2 ⁡ α = α 2 2 . (b) Verifique que α = 1,39   r a d (aproximadamente 80º) é uma solução para a equação transcendental do item (a). (c) Mostre que a LTMA é dada por Δ θ = 2 ⋅ sin - 1 ⁡ 0,443 ⋅ λ a , onde a é a largura da fenda. Calcule a LTMA do máximo central para fendas cujas larguras corresponde a (d) 1,00 ⋅ λ ; (e) 5,00 ⋅ λ e (f) 10,0 ⋅ λ

Passo 1

Nesse exercício vamos usar as relações para intensidade em um ponto através da Eq. 36-5 como também relações para o ângulo α pela Eq. 36-6

Passo 2

  1. Temos pela Eq. 36-5 que

    2. I = I m ⋅ sin 2 ⁡ α α 2

    Usando a relação dada pelo enunciado, que sin 2 ⁡ α = 1 2 ⋅ α 2 , chegamos que

    I = I m ⋅ 1 2 ⋅ α 2 α 2 = 1 2 ⋅ I m

    Assim, chegamos na relação que é pedida.

    Passo 3

  2. Se substituirmos o α dado na relação sin 2 ⁡ α = 1 2 ⋅ α 2 , chegamos no seguinte resultado

    3. sin 2 ⁡ 1,39 = 1 2 ⋅ 1,39 2

    0,9677 = 0,9660

    Chegamos que a diferença então está na terceira casa decimal. Se testarmos para outros dois valores com 3 casas decimais para baixo e para cima, chegamos que

    sin 2 ⁡ 1,385 - 1 2 ⋅ 1,385 2 = 0,006

    sin 2 ⁡ 1,39 5 - 1 2 ⋅ 1,39 5 2 = 0,0036

    Deixando a diferença maior do que para 1,39 rad, mostrando que esse é realmente o melhor valor para resolver a equação.

    Passo 4

  3. Temos pela Eq. 36-6 que

    4. α = π ⋅ a λ ⋅ sin ⁡ θ

    Substituindo o valor de α e manipulando a equação, chegamos que

    θ = sin - 1 ⁡ 1,39 π ⋅ λ a = sin - 1 ⁡ 0,442 ⋅ λ a

    Como se trata de dois mínimos, um de cada lado do máximo central, temos que a diferença entre os ângulos então será 2 vezes esse valor, logo

    Δ θ = 2 ⋅ sin - 1 ⁡ 0,442 ⋅ λ a

    Passo 5

  4. Para a = 1,0 ⋅ λ , temos substituindo na equação do item anterior que

    5. Δ θ = 2 ⋅ sin - 1 ⁡ 0,442 ⋅ λ 1,0 ⋅ λ = 52,5 º

    Passo 6

  5. Para a = 5 , 0 ⋅ λ , temos substituindo na equação do item anterior que

    6. Δ θ = 2 ⋅ sin - 1 ⁡ 0,442 ⋅ λ 5 , 0 ⋅ λ = 10,1 º

    Passo 7

  6. Para a = 10 ⋅ λ , temos substituindo na equação do item anterior que

Δ θ = 2 ⋅ sin - 1 ⁡ 0,442 ⋅ λ 10 ⋅ λ = 5,06 º

Resposta

  1. I = 1 2 ⋅ I m
  2. α = 1,39
  3. Δ θ = 2 ⋅ sin - 1 ⁡ 0,442 ⋅ λ a
  4. Δ θ = 5 2,5 º
  5. Δ θ = 10,1 º
  6. Δ θ = 5,06 º
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