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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 36.Problemas Desafiadores - Ex. 73

É possível determinar a intensidadena figura de difração de fenda única de Fraunhofer sem usar o método dos fasores mostrado na seção 36.3. Designe por y ' a posição de um ponto no interior da fenda da largara a na figura 36.5a, fazendo y '   =   0 , de modo que a fenda se estenda desde y ' = - a / 2 = até y ' = a / 2 . Podemos imaginar a fenda dividida em faixas de larguras de d y ' ,   cada uma delas desempenhando o papel de um centro de ondas secundárias.

  1. A amplitude da onda resultante no ponto O sobre a tela distante na figura 36.5a é igual a E 0 . Explique por que a amplitude de cada onda secundária infinitesimal na faixa dentro da fenda é dada por E 0 d y ' a , de modo que o campo elétrico da onda secundária a uma distância x da faixa infinitesimal é d E = E 0 ( d y ' / a ) s e n   ( k x - w t ) .
  2. Explique por que a onda secundária que sai de cada faixa da fenda e atinge o ponto P mostrado na Figura 36.5ª pode ser expressa do seguinte modo:

    3. d E = E 0 d y ' a s e n   [ k D - y ' s e n θ - w t ]

    Onde D é a distância entre o ponto P e o cento da fenda e k = 2 π / λ .

  3. Integrando as contribuições da onda infinitesimal d E proveniente de todas a partes a fenda, mostre que a onda resultante detectada no ponto P é dada por

    4. d E = E 0   s e n   k D - w t s e n   k a s e n θ 2 k a s e n θ 2

    d E = E 0   s e n   k D - w t s e n   π a s e n θ λ π a s e n θ λ

    (As identidades trigonométricas do Apêndice B será úteis.) Mostre que, para θ = 0 , correpondedno ao ponto O na figura 36.5ª, a onda é E = E 0 s e n k d - w t e possui amplitude E 0 conforme foi dito no intem (a).

  4. Useo reseltado do intem (c) para mostrar que, se a intensidade no ponto O for I 0 , então a intenidade no ponto P será dada pela equação (36.7).

Passo 1

  1. E 0 d y ' a ⇒ d E = E 0 d y ' a s e n k x - w t

    Passo 2

  2. y ' s e n   θ ⇒ k x = k D - y ' s e n   θ ⇒ d E = E 0 d y ' a   s e n   k D - y ' s e n   θ - w t

    d E = E 0 d y ' a   s e n   k D - w t c o s k y ' s e n   θ + s e n   k y ' s e n   θ c o s k D - w t

    Passo 3

  3. Então a amplitude total é calculada através da integral a seguir.

    E = ∫ - a / 2 a / 2 d E

    d E será a resposta do item (b), substituindo, temos.

    E = E 0 a ∫ - a / 2 a / 2 ( s e n k D - w t   c o s k y ' s e n   θ +   s e n   k y ' s e n   θ c o s k D - w t d y '

    Separando os termos e fazendo individualmente.

    E = E 0 a ∫ - a 2 a 2 s e n k D - w t   c o s k y ' s e n   θ d y ' + ∫ - a 2 a 2   s e n   k y ' s e n   θ c o s k D - w t d y '

    Parte I Parte II

    Resolvendo a parte II traves de uma integral simples, temos que o resultado será igual a zero. Restando apenas a parte I.

    E = E 0 a ∫ - a 2 a 2 ( s e n k D - w t   c o s k y ' s e n   θ   ) d y '

    Separando a constante e o termo dependente de y ’

    E = E 0 a s e n k D - w t ∫ - a 2 a 2   c o s k y ' s e n   θ   d y '

    Resolvendo a integral simples, temos.

    E = E 0 s e n k D - w t s e n k a ( s e n θ ) 2 k a ( s e n θ ) 2

    Substituindo k = 2 π λ

    E = E 0 s e n k D - w t s e n π a ( s e n θ ) λ π a ( s e n θ ) λ

    Sendo θ = 0 , s e n   ( . . . ) =   0 . Ou seja.

    E = E 0 s e n k D - w t

    Passo 4

  4. Então I ∝ E 2

I = I 0 s e n k a s e n θ 2 k a s e n θ 2 ²

I = I 0 s e n β 2 β 2 ²

Sendo assim

I 0 = E 0 ² s e n ² k D - w t

Resposta

  1. d E = E 0 d y ' a s e n k x - w t
  2. d E = E 0 d y ' a   s e n   k D - w t c o s k y ' s e n   θ + s e n   k y ' s e n   θ c o s k D - w t
  3. E = E 0 s e n k D - w t
  4. Demonstração na resolução, passo 4.
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