Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 9.2 - Ex. 8

Uma lata homogênea tem uma massa de 0,140   k g , uma altura de 12,0   c m e contém 0,354   k g de refrigerante (Fig. 9-41). Pequenos furos são feitos na base e na tampa (com perda de massa desprezível) para drenar o liquido. Qual é a altura h   do centro de massa da lara e seu conteúdo (a) inicialmente e (b) após a lata perder todo o refrigerante? (c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado? (d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.

Passo 1

Para calcular a coordenada x do centro de massa podemos usar a seguinte relação:

x c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Como a lata é corpo homogêneo, então o seu centro de massa está localizado no próprio centro geométrico, que se situa a uma distância H / 2 acima da base. O centro de massa do refrigerante também está localizado em seu centro geométrico, devido a simetria, que está situado x / 2 acima da base da lata.

Passo 2

É importante perceber que quando a lata está cheia, os dois centro geométricos são coincidentes e, portanto, x 2 = H 2 . Portanto, usando a relação dada no passo anterior para determinar a posição do centro de massa inicialmente, temos:

x c m = M × H 2 + m × H 2 M + m

Assim:

x c m = H 2 = 12 2 = 6   c m

Passo 3

Para o caso da lata estar vazia, então a massa do refrigerante é nula e, portanto, o centro de massa está no próprio centro geométrico do cilindro:

x c m = H 2 = 12 2 = 6   c m

Passo 4

Inicialmente, quando existir uma massa siginificativa de líquido dentro da lata enquanto x diminuir, o x c m também diminuirá, porém, depois, esta massa passa a não ser tão significativa até desaparecer, a partir desse instante a posição do centro de massa passa a aumentar até atingir x c m = 6   c m .

Passo 5

Devemos perceber que temos o valor da massa do refrigerante quando a lata está cheia, porém, para continuar resolvendo esta questão, devemos fazer uma relação para determinar a massa no decorrer do deslocamento do líquido. Para isso:

m r = m 0 x H

Portanto, aplicando novamente a relação para calculcar a coordenada do centro de massa:

x c m = M H 2 + m r x 2 M + m r

Substituindo o valor da massa em função do deslocamento:

x c m = M H 2 + m 0 x H x 2 M + m 0 x H

x c m = M H 2 + m 0 x 2 2 H M + 2 m 0 x

Por fim, para determinar o valor que o x c m atinge o ponto mais baixo, vamos derivar a função acima em relação a x e igualar a zero:

d x c m d x = 2 m x 2 H M + 2 m x - 2 m M H 2 + m x 2 2 H M + 2 m x 2

= 4 M m H x + 4 m 2 x 2 - 2 M m H 2 - 2 m 2 x 2 2 ( H M + m x ) 2

= 4 M m H x + 2 m 2 x 2 - 2 M m H 2 4 H M + m x 2

= 2 ( 2 M m H x + m 2 x 2 - M m H 2 ) 4 H M + m x 2

= m 2 x 2 + 2 M m H x - M m H 2 2 M H + m x 2 = 0

Assim:

m 2 x 2 + 2 M m H x - M m H 2 = 0

Substituindo os valores:

0,354 2 x 2 + 2 × 0,14 × 0,354 × 12 × x - 0,14 × 0,354 × 12 2 = 0

0,125 x 2 + 1,19 x - 7,14 = 0

Resolvendo esta equação do segundo e pegando a raíz positiva, temos:

x ≅ 4,2   c m

Resposta

  1. x c m = 6   c m ;
  2. x c m = 6   c m ;
  3. d i m i n u i r á ,   d e p o i s   a u m e n t a r á   a t é   H / 2 ;
  4. x = 4,2   c m .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê um exemplo para cada caso seguinte: (a) um objeto tridimensional sem matéria em seu centro de massa, (b) um objeto sólido cujo centro de massa está fora dele, (c) uma esfera sólida cujo centro de m
APLICAÇÃO BIOLÓGICA. Quando você está de pé, seu centro de massa está localizado dentro do volume do seu corpo. No entanto, se você se curva (como para levantar um pacote), a localização do centro de
APLICAÇÃO EM ENGENHARIA. Em sua viagem (de ida) de três dias até a Lua, a equipe Apollo (final dos anos de 1960 a início dos anos de 1970) separava de forma explosiva o módulo lunar do terceiro estági
Uma placa circular de raio R tem, cortado, um furo circular de raio R / 2 (Figura abaixo). Encontre o centro de massa da placa depois de o furo ter sido cortado. Dica: A placa pode ser vista como dois
Encontre a posição do centro de massa do sistema Terra-Lua em relação ao centro da Terra. Ele está abaixo ou acima da superfície da Terra?