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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 13

O livre percurso médio em hélio gasoso a 1   a t m e 15 ° C é de 1,862 × 10 - 5   c m . (a) Calcule o diâmetro efetivo de um átomo de hélio. (b) Estime o número médio de colisões por segundo que um átomo de hélio sofre nestas condições.

Passo 1

(a) Vamos lembrar da fórmula para o livre percurso médio:

l - = 1 2 π η d 2

Onde d é o diâmetro que queremos calcular, e η é o número de partículas por unidade de volume.

Nossa primeira tarefa é calcular esse η . Uma boa ideia é usar a lei dos gases ideais:

P V = n R T

n V = P R T

Substituindo os valores numéricos:

n V = 1   a t m 0,082 15 + 273

n V = 4,23 × 10 - 2 m o l L

E como cada mol equivale a 6 × 10 23 partículas:

η = 6 × 10 23 4,23 × 10 - 2 á t o m o s L

η = 2,54 × 10 22 á t o m o s L

Pra podermos calcular o diâmetro d em centímetros, vamos converter isso para átomos por centímetro cúbico:

η = 2,54 × 10 22 á t o m o s 10 3   c m 3 = 2,54 × 10 19 á t o m o s c m 3

Passo 2

Beleza, já podemos substituir para calcular d :

l - = 1 2 π η d 2

1,862 × 10 - 5 = 1 2 π 2,54 × 10 19 d 2

d 2 = 1 1,862 × 10 - 5 2,54 × 10 19 2 π

d = 2,18 × 10 - 8   c m

Passo 3

(b) O livre percurso médio é a distância média que cada átomo de hélio percorre antes de colidir com algum outro átomo:

Se a gente souber a velocidade média com que o átomo percorre esse caminho, dá pra calcular o tempo médio antes de cada colisão!

Uma boa aproximação para isso é a velocidade quadrática média:

v q m = 3 k T m  

A massa de cada átomo de hélio é de 4   u . a . , ou seja:

m = 4 1,66 × 10 - 27   k g = 6,64 × 10 - 27   k g

Então:

v q m = 3 1,38 × 10 - 23 15 + 273 6,64 × 10 - 27 = 1340   m / s

v q m = 1,34 × 10 5   c m / s

Passo 4

Agora que já sabemos a distância e a velocidade, podemos calcular o tempo:

Δ t - = l - v

Δ t - = 1,862 × 10 - 5   c m 1,34 × 10 5   c m / s

Δ t - = 1,390 × 10 - 10   s

Esse é o intervalo de tempo médio entre cada colisão. Isso quer dizer que o número de colisões por segundo é:

N = 1 1,390 × 10 - 10 = 7,20 × 10 9   c o l i s õ e s s

Resposta

(a) O diâmetro efetivo do átomo de hélio é 2,18 × 10 - 8   c m .

(b) O número médio de colisões por segundo é N = 7,20 × 10 9   c o l i s õ e s / s .

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