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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 40

A luz viajando na direção de aumentar o potencial gravitacional sofre um desvio para o vermelho da frequência. Calcule a mudança no comprimento de onda se um feixe de luz de comprimento de onda λ = 632,8 nm for enviado por um eixo vertical de altura L = 100 m.

Passo 1

Opaa, tudo bem por aí??

Vamos fazer o seguinte: m será a massa de um fóton, assim, podemos calcular a mudança na energia potencial gravitacional de um fóton à medida que ele sobe uma distância L no campo gravitacional para h Δ f e, então, expressar a mudança do comprimento de onda em termos da mudança de frequência. Vamos lá!

Passo 2

A velocidade dos fótons no feixe de luz está relacionada à sua frequência e comprimento de onda:

c = λ f → f = c λ

Derivando a frequência:

d f d λ = - c λ 2

Se a gente aproximar d f d λ = ∆ f ∆ λ :

∆ f ∆ λ = - c λ 2

∆ f = - c ∆ λ λ 2

Dividindo os dois lados por f :

∆ f f = - c ∆ λ λ 2 f = - c ∆ λ λ 2 c λ

∆ f f = - c λ ∆ λ c λ 2 = - ∆ λ λ

Assim:

∆ λ = - λ ∆ f f

Passo 3

A mudança na energia do fóton conforme ele sobe uma distância L em um campo gravitacional é dada pela sua variação de energia potencial gravitacional:

∆ E = ∆ U = m g L

Como ∆ E = h ∆ f :

h ∆ f = m g L

Hmmm, e podemos achar alguma coisa com h f , a energia:

E = h f

Mas também E = m c 2 :

m c 2 = h f

Assim, dividindo tudo por h f na primeira equação:

h ∆ f h f = m g L m c 2

Arrumando:

∆ f f = g L c 2

Passo 4

Opa, já vimos antes que: ∆ λ = - λ ∆ f f

Então, substituindo ∆ f / f que achamos no passo anterior:

∆ λ = - λ g L c 2

E substituindo os valores:

∆ λ = - 632,2 × 10 - 9   m ( 9,81   m / s 2 ) ( 100   m ) 2,998 × 10 8   m / s 2

∴

∆ λ = - 6,9 × 10 - 12   n m

Pronto!! Acabou!

Resposta

- 6,9 × 10 - 12   n m

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