Para luz que é deslocada por Doppler em relação a um observador, definimos o parâmetro de desvio para o vermelho z = () f - f ′ f ′, onde f é a frequência da luz medida no quadro de repouso do emissor, e f ′ é a frequência medida no quadro restante do receptor. Se o emissor estiver se afastando diretamente do receptor, mostre que a velocidade relativa entre o emissor e o receptor é v = c u2 () - 1 u2 (+1), onde u = z + 1.

Passo 1

Fala aee! Beleza? Questãozinha de demonstração, vamos lá!

Podemos usar a definição do parâmetro de redshift e a equação de efeito Doppler relativístico para mostrar que v = c u 2 - 1 u 2 + 1 , onde u = z + 1 . Assim, para o redshift:

z = f 0 - f ' f '

Onde podemos relacionar as frequências por efeito Doppler de afastamento:

f ' = f 0 1 - v c 1 + v c

Substituindo isso na primeira equação:

z = f 0 - f 0 1 - v c 1 + v c f 0 1 - v c 1 + v c = f 0 1 - 1 - v c 1 + v c f 0 1 - v c 1 + v c

z = 1 - 1 - v c 1 + v c 1 - v c 1 + v c

z = 1 1 - v c 1 + v c - 1

Invertendo:

z = 1 + v c 1 - v c - 1

z + 1 = 1 + v c 1 - v c

Se fizermos u = z + 1 :

u = 1 + v c 1 - v c

Elevando os dois lados ao quadrado:

u 2 = 1 + v c 1 - v c

Agora, vamos isolar v :

u 2 1 - v c = 1 + v c

u 2 - u 2 v c = 1 + v c

u 2 - 1 = v c + u 2 v c

u 2 - 1 = v c 1 + u 2

v c = u 2 - 1 u 2 + 1

v = c u 2 - 1 u 2 + 1

Onde u = z + 1 . Opa! Prontinho! Mostramos já.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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