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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 26

Mostre que se v é muito menor que c, o desvio Doppler é dado aproximadamente por Δf f ≈ ± v c.

Passo 1

Opa, fala comigo!! Como você tá? Bora começar!

Podemos usar a expressão para o deslocamento Doppler relativístico para mostrar que, com uma boa aproximação, Δ f f ≈ ± v c .

Então, primeiro, vamos escrever o deslocamento fracionário em função de f e f 0 :

∆ f f 0 = f - f 0 f 0 = f f 0 - 1

Passo 2

Beleza, agora vamos olhar para quando a fonte e o receptor estão se aproximando: o deslocamento Doppler relativístico é dado por:

f = 1 + v c 1 - v c f 0

Assim:

f f 0 = 1 + v c 1 - v c

Substituindo isso na equação do passo anterior:

∆ f f 0 = 1 + v c 1 - v c - 1

∆ f f 0 = 1 + v c 1 2 1 - v c - 1 2 - 1

Passo 3

Agora, temos que lembrar da expansão binomial que já até fizemos em outro exercício, com γ , lembra?? Então, te lembro rapidinho, nós tínhamos que:

1 + x n = 1 + n x + n ( n - 1 ) 2 x 2 + … ≈ 1 + n x ,     x ≪ 1

Dessa forma, considerando que v c ≪ 1 :

1 + v c 1 2 ≈ 1 + 1 2 v c

E:

1 - v c - 1 2 ≈ 1 - - 1 2 v c = 1 + 1 2 v c

Subsituindo isso na equação que tínhamos:

∆ f f 0 = 1 + 1 2 v c 1 + 1 2 v c - 1

∆ f f 0 = 1 + v c + v 2 4 c 2 - 1

Como consideramos v c ≪ 1 , podemos considerar v 2 4 c 2 = 0 :

∆ f f 0 = 1 + v c - 1

∴

∆ f f 0 = v c

Tranquilo?? E o sinal depende se a fonte e o receptor estão se aproximando ou se afastando. Aqui, presumimos que eles estão se aproximando, por isso deu positivo.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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