Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 39
A magnitude da força () que uma mola exerce quando distendida de uma distância a partir de seu comprimento quando frouxa é governada pela lei de Hooke, . (a) Quais são as dimensões da constante de força, ? (b) Quais são as dimensões e as unidades SI da quantidade ?
Passo 1
a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Queremos as dimensões da constante . A ideia é achar essas dimensões usando as dimensões básicas
Aqui vamos usar a Tabela 1-2 para achar as dimensões e os símbolos das grandezas que ele menciona, tá?
As dimensões básicas que vamos usar e os símbolos delas são
- tempo:
- massa:
- comprimento
Primeiro vamos reescrever todas as dimensões que ele deu usando somente essas dimensões básicas. As grandezas que não forem dimensões básicas vamos colocar entre colchetes .
Ele nos dá a força , pela tabela, a força tem essa dimensão:
Já é uma distância, então a sua dimensão é somente o comprimento
Pela lei de Hooke dada, sabemos que:
Essa igualdade vale também para as dimensões usadas. A ideia é usar essa igualdade e as dimensões que a gente pegou para e , e chegar nas dimensões de . Para fazer contas com as dimensões vamos apenas usar as regrinhas algébricas de sempre. Bora!
Passo 2
Como queremos saber a magnitude de , devemos isolar e substituir as magnitudes conhecidas para a força e para .
Essa igualdade também tem que valer para as dimensões usadas, então:
Substituindo o que achamos no passo 1
Então a dimensão de é massa dividida pelo quadrado do tempo.
Passo 3
No item (b), nos é perguntado a magnitude de . Vamos primeiro achar as dimensões de .
A dimensão de vai ser a dimensão de elevada ao quadrado:
E como
Temos que:
Passo 4
Agora vamos reescrever os termos dessa última expressão com as unidades básicas do SI.
A unidade de comprimento do SI é o metro , a da massa é o quilograma e do tempo é o segundo .
Vamos pegar nossa expressão das dimensões de
E substituir no símbolo da massa a unidade da massa , no símbolo do comprimento a unidade do comprimento e no símbolo do tempo a unidade do tempo , ficamos assim