A tabela abaixo dá os períodos T e os raios de órbita r para os movimentos de quatro satélites orbitando um asteroide pesado e denso. (a) Esses dados podem ser ajustados pela fórmula T = C r n . Encontre os valores das constantes C e n . (b) Descobre-se que um quinto satélite tem um período de 6.20 anos. Encontre o raio para a órbita desse satélite, que se adequa à mesma fórmula.

Passo 1

a) Olá! Fala!

Então, ele te deu um conjunto de dados e uma equação com expoente, e pede os coeficientes dessa equação. Isso é uma questão típica para fazer o que a gente chama de linearização, que é pegar uma equação com potência e reescrever como uma reta, mas com variáveis novas.

É isso que vamos fazer aqui! Ok? Então, ele nos deu o tipo de equação:

T = C r n

A primeira coisa é aplicar log nos dois lados dessa belezinha

log ⁡ T = log ⁡ C r n

Aí a gente pode pensar na propriedade de log que diz que se temos log de um produto de dois termos, isso pode virar a soma dos logs de cada termo, desse jeito:

log ⁡ T = log ⁡ C + log ⁡ r n

E a gente pode usar a propriedade do log que a gente chama de “peteleco”. O expoente da potência dentro do argumento do log pode sair dele, e ficar apenas multiplicado pelo log de onde ele saiu:

log ⁡ T = log ⁡ C + n log ⁡ r

Belezinha? E como isso vira uma reta? Cara, vamos chamar

Y = log ⁡ T

X = log ⁡ r

Essas serão as novas variáveis. Substituindo isso na nossa equação:

Y = log ⁡ C + n X

Agora como log ⁡ C   é uma constante, porque C é um coeficiente constante, essa aí em cima é a equação de uma reta!

Passo 2

O que vamos fazer agora é desenhar o gráfico dessa reta. Como? O enunciado deu um conjunto de valores que se correspondem para r e para T , certo? A gente pode jogar esses valores nas expressões:

Y = log ⁡ T

X = log ⁡ r

E achar valores de X e Y , e assim um conjunto de pontos X , Y . Esses pontos formam a nossa reta. Então depois que a gente achar esses pontos, a gente gera uma reta que passa por todos eles aproximadamente.

Ela fica assim:

Aqui nós usamos um programa para fazer o gráfico, porque o livro sinaliza que essa é uma questão para resolver com planilhas eletrônicas, tá?

Como a gente usou o computador, ele já nos deu a equação da reta que é formada a partir dos pontos X , Y :

Y = 1,5036 X + 1,2311

Se estiver fazendo a mão, você deve pegar dois pontos da reta do gráfico, e substituir na equação geral de uma reta Y = b + a X . Aí você tem um sistema de duas variáveis e pode resolver para achar b e a , e assim sua reta. Mas esse método pode dar valores um pouco diferentes do gabarito por causa da precisão, tá bem?

Passo 3

Vamos comparar essa equação da reta do gráfico com a equação da reta que achamos pela linearização para achar C e n :

Y = 1,5036 X + 1,2311

Y = n X + log ⁡ C

Comparando, temos

log ⁡ ( C ) = 1,2311         ⇒         C = 10 1,2311 ≅ 17

n = 1,5036 ≈ 1,5

A equação que rege o movimento é então

T = C r n

T = 17 C 1,5

Passo 4

(b) Ele deu um período de um planeta e quer o raio que se adeque a nossa fórmula. Então o que a gente pode fazer é substituir esse período na nossa fórmula, e vê que raio ela dá para ele.

T = 6,20   a n o s

T = 17 r 1,5

Substituindo os valores:

6,2 = 17 r 1,5

r = 6,20 17 1,5

r = 0,510   G m

O raio fica com essa unidade porque os raios da tabela tem essa unidade.

Resposta

(a) C = 17 e n = 1,5 .

(b) r = 0,510   G m .

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