Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 75
A tabela abaixo dá os períodos e os raios de órbita para os movimentos de quatro satélites orbitando um asteroide pesado e denso. (a) Esses dados podem ser ajustados pela fórmula . Encontre os valores das constantes e . (b) Descobre-se que um quinto satélite tem um período de anos. Encontre o raio para a órbita desse satélite, que se adequa à mesma fórmula.
Passo 1
a) Olá! Fala!
Então, ele te deu um conjunto de dados e uma equação com expoente, e pede os coeficientes dessa equação. Isso é uma questão típica para fazer o que a gente chama de linearização, que é pegar uma equação com potência e reescrever como uma reta, mas com variáveis novas.
É isso que vamos fazer aqui! Ok? Então, ele nos deu o tipo de equação:
A primeira coisa é aplicar log nos dois lados dessa belezinha
Aí a gente pode pensar na propriedade de log que diz que se temos log de um produto de dois termos, isso pode virar a soma dos logs de cada termo, desse jeito:
E a gente pode usar a propriedade do log que a gente chama de “peteleco”. O expoente da potência dentro do argumento do log pode sair dele, e ficar apenas multiplicado pelo log de onde ele saiu:
Belezinha? E como isso vira uma reta? Cara, vamos chamar
Essas serão as novas variáveis. Substituindo isso na nossa equação:
Agora como é uma constante, porque é um coeficiente constante, essa aí em cima é a equação de uma reta!
Passo 2
O que vamos fazer agora é desenhar o gráfico dessa reta. Como? O enunciado deu um conjunto de valores que se correspondem para e para , certo? A gente pode jogar esses valores nas expressões:
E achar valores de e , e assim um conjunto de pontos . Esses pontos formam a nossa reta. Então depois que a gente achar esses pontos, a gente gera uma reta que passa por todos eles aproximadamente.
Ela fica assim:
Aqui nós usamos um programa para fazer o gráfico, porque o livro sinaliza que essa é uma questão para resolver com planilhas eletrônicas, tá?
Como a gente usou o computador, ele já nos deu a equação da reta que é formada a partir dos pontos :
Se estiver fazendo a mão, você deve pegar dois pontos da reta do gráfico, e substituir na equação geral de uma reta . Aí você tem um sistema de duas variáveis e pode resolver para achar e , e assim sua reta. Mas esse método pode dar valores um pouco diferentes do gabarito por causa da precisão, tá bem?
Passo 3
Vamos comparar essa equação da reta do gráfico com a equação da reta que achamos pela linearização para achar e :
Comparando, temos
A equação que rege o movimento é então
Passo 4
(b) Ele deu um período de um planeta e quer o raio que se adeque a nossa fórmula. Então o que a gente pode fazer é substituir esse período na nossa fórmula, e vê que raio ela dá para ele.
Substituindo os valores:
O raio fica com essa unidade porque os raios da tabela tem essa unidade.
Resposta
(a) e .
(b) .