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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 13.6 - Ex. 29

Marte e a Terra têm um diâmetro médio de 6,9 × 10 3 k m e 1,3 × 10 4 k m , respectivamente. A massa de Marte é 0,11 vez a massa da Terra. (a) Qual é a razão entre a massa específica média de Marte e a da Terra? (b) Qual é o valor da aceleração gravitacional em Marte? (c) Qual é a velocidade de escape em Marte?

Passo 1

Antes de calcular a razão das massas específicas de Marte e da Terra, vamos lembrar como se calcula o volume de uma esfera de raio R :

V = 4 3 π R 3

Conhecendo a massa M dessa esfera, podemos chegar a sua densidade:

ρ = M V = M 4 3 π R 3 = 3 M 4 π R 3

Podemos, então, escrever a razão de densidades entre Marte e Terra:

ρ M ρ T = 3 M M 4 π R M 3 3 M T 4 π R T 3 = 3 M M 4 π R M 3 × 4 π R T 3 3 M T = M M M T × R T 3 R M 3

Precisamos conhecer a razão M M / M T . Foi dado no enunciado que: M M = 0,11 × M T . Logo:

M M M T = 0,11

Substituindo na equação anterior, temos:

ρ M ρ T = 0,11 × R T 3 R M 3

Como a gente sabe o valor do diâmetro, é só dividir por dois pra calcular o raio

R M = D M 2 = 6,9 2 × 10 3 k m = 3,45 × 10 3 k m

R T = D T 2 = 1,3 2 × 10 4 k m = 6,5 × 10 3 k m

Substituindo os valores na equação anterior temos:

ρ M ρ T = 0,11 × 6,5 × 10 3 k m 3,45 × 10 3 k m 3 = 0,11 × 6,69 = 0,73

Passo 2

Pela lei da gravitação universal, a gente pode escrever a aceleração gravitacional g M em Marte

g M = G M M R M 2

Não temos a massa de Marte M M , mas podemos escrever:

M M = 0,11 × M T

Também não temos a massa da terra, mas podemos escrever:

g T = G M T R M 2

M T = g T R T 2 G

Assim, fazendo as substituições na equação pra gravidade de Marte, temos:

g M = G M M R M 2 = G × 0,11 × M T R M 2 = 0,11 × G g T R T 2 R M 2 G = 0,11 × g T R T 2 R M 2

g M = 0,11 × g T × R T R M 2

Substituindo os valores pra gravidade da Terra, raio da Terra e de Marte, a gente fica com

g M = 0,11 × 9,81 m / s 2 × 6,5 × 10 3 k m 3,45 × 10 3 k m 2

g M = 3,83 m / s 2

Passo 3

Pra calcular a velocidade de escape de Marte v e M , a gente usa a equação abaixo

v e M = 2 G M M R M

Como vimos anteriormente, podemos substituir a massa de Marte:

v e M = 2 G × 0,11 × M T R M = 2 G × 0,11 × g T R T 2 R M G = 2 × 0,11 × g T R T 2 R M

Substituindo os valores pra gravidade da Terra, raio da Terra e de Marte, temos:

v e M = 2 × 0,11 × 9,81 m / s 2 × 6,5 2 × 10 6 m 2 3,45 × 10 6 m

v e M = 5,1 × 10 3 m / s

Resposta

(a) ρ M / ρ T = 0,73

(b) g M = 3,83 m / s 2

(c) v e M = 5,1 × 10 3 m / s

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