medidas de uma variável estocástica fornecem valores , . O valor médio de é . O desvio entre uma dada medida e é . O valor médio do quadrado do desvio (denominado variância da variável) é .
a) Mostre que .
b) Mostre que .
c) Em que situação ocorre ?
Passo 1
Esse é um exercício bem clássico de estatística! Para isso, vamos precisar de duas propriedades sobre os valores esperados:
Pela definição, . Desta forma,
Usando a primeira propriedade:
Como é uma constante, temos que
Assim,
Mas sabemos que , de modo que
Ou ainda,
Passo 2
No item (b) queremos mostrar que . Para isso, recorremos a definição de :
Como , segue do item (a) que
Logo,
Portanto,
A situação em que corresponde ao limite em que , de modo que .
Resposta
Demonstração.