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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 5

No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, o eletron, de carga - e = - 1.60 × 10 - 19 C e massa m = 9,11 × 10 - 31 k g , descreve órbitas circulares em torno do próton, de carga e e massa 1840 m . Com muito boa aproximação, podemos tratar o próton como um centro de forças fixo, identificado com o CM do sistema. A única força que atua é a atração coulombiada. A hipótese básica de Bohr foi que a magnitude L do momento angular do elétron não pode assumir valores arbitrários, mas tão somente os valores quantizados

L n = n h -   ( n = 1,2 , 3 , … )

Onde

h - = 1.05 × 10 - 34 J s

  1. Calcule o raio de Bohr r 1 da órbita com n = 1   e exprima o raio r n da órbita associada com L n em função de r 1 .
  2. Calcule em e V a energia E 1 da órbita com n = 1 e exprima E n em função de E 1 .
  3. Calcule a razão v 1 / c da velocidade do elétron na órbita com n = 1 para a velocidade da luz c .

Passo 1

  1. A força de atração elétrica do elétron em uma camada n é igual à força centrípeta:

    2. k e 2 r 2 = m v 2 r

    v 2 = k e 2 m r

    E o momento angular é:

    L = m v r = n h -

    m 2 v 2 r 2 = n 2 h - 2

    Substituindo v 2 aqui no momento angular:

    m 2 k e 2 m r r 2 = n 2 h - 2

    k m e 2 r = n 2 h - 2

    r n = n 2 h - 2 k m e 2

    Então, particularmente, para n = 1 :

    r 1 = h - 2 k m e 2

    E substituindo na equação do momento angular:

    m v n 2 h - 2 k m e 2 = n h -

    v n = k e 2 n h -

    Passo 2

  2. A energia é a soma da energia cinética e da potencial.

    3. E = m v 2 2 - k e 2 r

    Como encontramos, k e 2 r = m v 2 , e portanto:

    E n = - m v 2 2

    Mas v n = k e 2 n h - :

    E n = - m 2 k e 2 n h - 2

    E n = - m e k 2 e 4 2 n 2 h - 2

    Substituindo o valor das constantes:

    E n = - 13.6 n 2   e V

    Particularmente, o valor da primeira órbita é:

    E 1 = - 13.6   e V

    Passo 3

  3. A razão vai ser:

v 1 c = k e 2 h - c = 7.3 × 10 - 3

Resposta

  1. r n = n 2 h - 2 k m e 2
  2. E n = - 13.6 n 2   e V
  3. 7.3 × 10 - 3
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