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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 3

O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra-Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, a atração gravitacional sendo substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de 0,5   Å . a) Admitindo esse modelo, qual seria a frequência de revolução do elétron em torno do próton? Compare-a com a frequência da luz visível.

b) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É consistente usar a eletrostática nesse caso? É consistente usar a mecânica não-relativística?

Passo 1

  1. Ao comparar o modelo de Borh com o sistema terra-lua, temos o elétron orbita o próton executando um movimento circular. Assim, a força eletrostática é igual a força centrípeta

    2. F e = F c

    Mas, vamos calcular primeiro somente a força eletrostática:

    F e =   1 4 π ϵ 0 q e q p r 2

    Onde, q e = q p = 1,602 × 10 - 19   C , ϵ o = 8,85 × 10 - 12 e r = 0,5   Å   =   0,5 × 10 - 10   m

    F e =   1 4 π .   8,85 × 10 - 12 1,602 × 10 - 19 2 ( 0,5 × 10 - 10 ) 2

    F e = 9,2 × 10 - 8 N

     

    E agora vamos igualar com a força centrípeta

    Passo 2

    Como queremos achar a frequência, vamos manipular as fórmulas em termo da frequência angular

    F e = F c = m v 2 r

    Sendo v = ω r

    F e = m ω 2 r

    ω 2 = F e m r

    Onde m = 9,109 × 10 - 31 k g   e r = 0,5   Å = 0,5 × 10 - 10   m  

    ω 2 = 9,2 × 10 - 8 9,109 × 10 - 31 .   0,5 × 10 - 10 = 2,02 × 10 33

    ω = 2,02 × 10 33 = 4,49 × 10 16   r a d   s - 1

    Como queremos a frequência

    ω = 2   π f

    f = ω 2   π

    Assim,

    f = 4,49 × 10 16 2   π   ≅ 7,2 × 10 15   s - 1

    Temos que a frequência está na faixa da luz visível.

    Passo 3

  2. A velocidade do elétron da sua órbita pode ser obtida através da fórmula

F e = F c = m v 2 r

Isolando a velocidade e substituindo os valores, temos:

v 2 = F e . r m = 9,2 × 10 - 8 .   0,5 × 10 - 10 9,109 × 10 - 31

v 2 = 5,05 × 10 12

v = 2,3 × 10 3 k m / s

Passo 2

Comparando a velocidade do elétron em órbita v = 2,3 × 10 3 k m / s com a velocidade da luz que é c = 3 × 10 5 k m / s

2,3 × 10 3 3 × 10 5 = 7,6   × 10 - 3   ≈ 0,76   % Ou seja, a velocidade do elétron é muito menor que a velocidade da luz. Assim, é consistente usar a mecânica não-relativística.

Resposta

  1. f =   7,2 × 10 15   s - 1
  2. v = 2,3 × 10 3 k m / s , muito menor que a velocidade da luz.
Ver Outros Exercícios desse livro

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