Enunciado
Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 13
Uma distribuição de carga esférica simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por
onde é uma constante e é a distância à origem.
- Calcule a carga total da distribuição
- Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.
Passo 1
Se liga! Para calcular a carga total devemos lembrar que
No enunciado ele nos deu
Mas como vou saber quem é ?Como ele diz que a simetria é esférica, podemos adotar que representa a área de uma esfera de raio . Beleza?!
Passo 2
Olha como vai fica nossa expressão de
Só precisamos resover a integral!
Para definir um intervalo de integração, vamos dizer que nossa esfera tem raio . Daí nossa integral fica
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes duas vezes e depois substituição obtendo como resultado
Passo 3
Lembra que ele disse no enunciado que o intervalo é
Então, precisamos fazer o limite quando , para isso vamos rearranjar o resultado da integral para ficar mais fácil a visualização
Como cresce muito mais rápido cresce muito mais rápido que os outros termos, quando os termos que são multiplicados por () vão para zero.
Passo 4
Enfim, agora podemos voltar com o nosso resultado da nossa integral para a expressão da carga
Essa é a nossa resposta para o item (a)!
Passo 5
No item (b) ele quer saber o campo elétrico em uma região qualquer.
Vamos dizer que essa região qualquer está distante do centro da nossa esfera em uma distância beleza?!
Então, precisamos lembrar do fluxo do campo elétrico, nossa famosa lei de Gauss
Como vou saber quem é e ?
Passo 6
Nós já encontramos a expressão de para uma esfera de raio , certo?Não acredita?!
Olha só
Se estamos interessado em uma esfera de raio , pasta trocar o pelo sacou?
Passo 7
A áera interessada é a área da esfera de raio
Substituindo e , teremos
Como o campo aponta para fora na direção radial, temos