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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 32.Questionário - Ex. 32

O momento de dipolo magnético da Terra é 8 × 10 22   J / T . (a) Se a origem deste magnetismo fosse uma esfera de ferro magnetizada, no centro da Terra, qual deveria ser o seu raio? (b) Que fração do volume da Terra esta esfera ocuparia? Suponha um alinhamento completo dos dipolos. A densidade do núcleo da Terra é 14   g / c m 3 . O momento de dipolo magnético de um átomo de ferro é 2.1 × 10 - 23   J / T . (Nota: consideramos a região mais interna do núcleo da Terra formada de partes líquida e sólida e parcialmente de ferro, porém a hipótese de um ímã permanente como fonte do magnetismo da Terra foi completamente afastada por diversas razões. Uma delas é que a temperatura está certamente acima do ponto de Curie.)

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Se a magnetização da esfera está saturada, o momento de dipolo total é μ soal  = N μ , onde N é o número de átomos de ferro na esfera e μ é o momento de dipolo de um átomo de ferro. Desejamos determinar o raio de uma esfera de ferro contendo N átomos de ferro. A massa de tal esfera é N m , onde m é a massa de um átomo de ferro. Ela também é dada por 4 π ρ R 3 / 3 , onde

ρ é a densidade do ferro e R é o raio da esfera. Portanto N m = 4 π ρ R 3 / 3 e

N = 4 π ρ R 3 3 m

Substitua isto na relação  μ total  = N μ  para assim obter

μ total  = 4 π ρ R 3 μ 3 m ,  ou seja,  R = 3 m μ total  4 π ρ μ 1 / 3 .

A massa de um átomo de ferro é

m = 56 u = ( 56 u ) 1.66 × 10 - 27 k g / u = 9.3 × 10 - 26 k g .

Com isto, obtemos

R = 3 9.3 × 10 - 26 8 × 10 22 4 π 14 × 10 3 2.1 × 10 - 23 1 / 3 = 1.8 × 10 5 m

Passo 2

O volume da esfera é

V e = 4 π 3 R 3 = 4 π 3 1.82 × 10 5   m 3 = 2.53 × 10 16   m 3

e o volume da Terra é

V T = 4 π 3 6.37 × 10 6 m 3 = 1.08 × 10 21 m 3

de modo que a fração do volume da Terra que é ocupado pela esfera é

V e V T = 2.53 × 10 16 m 3 1.08 × 10 21 m 3 = 2.3 × 10 - 5

Opa, gostou da resolução? Responde Aí!

Resposta

a . 1.8 × 10 5 m

b. 2.3 × 10 - 5

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