Enunciado

Um longo fio cilindrico tem raio igual a 2,0 cm e conduz uma corrente de 80 A uniformemente distribuida ao longo da area da secao transversal.Determine a energia magnetica por unidade de comprimento no interior do fio.

Passo 1

E aí galera, vamos para a resolução de mais um exercício!!

Considere um anel cilíndrico de espessura d r em um raio r < a . Podemos usar sua definição para expressar a energia magnética total d U m dentro do anular cilíndrico e dividir ambos os lados desta expressão pelo comprimento do fio para expressar a energia magnética por unidade de comprimento d U ' m . A integração desta expressão nos dará a energia magnética por unidade de comprimento dentro do fio.

Expresse a energia magnética dentro do anular cilíndrico:

d U m = B 2 2 μ 0 V anular  = B 2 2 μ 0 2 π ⋅ l d r = B 2 μ 0 π ⋅ l d r

Divida ambos os lados da equação por l para expressar a energia magnética por unidade de comprimento d U ' m :

d U m ' = B 2 μ 0 π ⋅ d r                                       ( 1 )

Passo 2

Use a lei de Ampère para expressar o campo magnético dentro do fio a uma distância r < a de seu centro:

2 π ⋅ B = μ 0 I C ⇒ B = μ 0 I C 2 π r

onde I C é a corrente dentro do cilindro de raio r .

Como a corrente é uniformemente distribuída sobre a área da seção transversal do fio:

I C I = π r 2 π a 2 ⇒ I C = r 2 a 2 I

Substitua I C para obter:

B = μ 0 r I 2 π a 2

Substituindo por B na equação ( 1 ) e simplificando, temos:

d U m ' = μ 0 r I 2 π a 2 2 μ 0 π r d r = μ 0 I 2 4 π a 4 r 3 d r

Passo 3

Vamos integrar d U ' m de r = 0 a r = a para obter:

U m ' = μ 0 I 2 4 π a 4 ∫ 0 a   r 3 d r = μ 0 I 2 4 π a 4 ⋅ a 4 4 = μ 0 I 2 16 π

Substitua os valores numéricos e avalie U ' m :

U m ' = 4 π × 10 - 7 N A 2 ( 80 A ) 2 16 π = 0.16 m J / m

Observações: Observe que a energia magnética por unidade de comprimento é independente do raio do cilindro e depende apenas da corrente total.

Resposta

0.16 m J / m

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