Uma montagem experimental de seu laboratório de física consiste em dois deslizadores sobre um trilho de ar horizontal sem atrito (figura abaixo). Cada deslizador carrega, sobre si, um forte ímã, e os ímãs estão orientados de forma a se atraírem mutuamente. A massa do deslizador 1 , com seu ímã, é 0,100   k g , e a massa do deslizador 2 , com seu ímã, é 0,200   k g . Você e seus colegas são instruídos a tomarem como origem a extremidade da esquerda do trilho e a centrarem o deslizador 1 em x 1 = 0,100   m e o deslizador 2 em x 2 = 1,600   m . O deslizador 1 tem um comprimento de 10,0   c m , enquanto o comprimento do deslizador 2 é 20,0   c m , e cada deslizador tem o centro de massa localizado em seu centro geométrico. Quando os dois deslizadores são largados a partir do repouso, eles se movem até se encontrarem e grudarem um no outro.

(a) Determine a posição do centro de massa de cada deslizador no momento em que eles se tocam.

Passo 1

Como não há forças externas atuando no sistema, o centro de massa do sistema composto pelos dois deslizadores não se move. Portanto, podemos calcular pela definição o seu centro de massa inicialmente e aplicar a definição uma segunda vez para relacionar as posições x 1 e x 2 de cada carro quando eles se tocarem.

Passo 2

Vamos usar a definição de centro de massa como:

x C M =   m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Substituindo os valores numéricos nas respectivas variáveis e calculando x C M , temos:

x C M =   0,100   k g 0,100   m + ( 0,200   k g ) ( 1,600   m ) 0,100   k g + 0,200   k g

x C M = 1,10   m

É claro, localizado a partir da extremidade esquerda da plataforma

Passo 3

Como o centro de massa não se moveu após o primeiro contato, então:

1,10   m =   m 1 X 1 +   m 2 X 2 m 1 +   m 2

Onde X 1 e X 2 são as posições do centro de massa de cada deslizador. Substituindo os valores nos resulta em:

1,10   m =   ( 0,100   k g ) X 1 + ( 0,200   k g ) X 2 ( 0,300   k g )

1,10   m =   1 3 X 1 +   2 3 X 2  

X 1 +   2 X 2 = 3,30   ( I )

Porém, quando os deslizadores se tocam a primeira vez, seus centros de massa estão separados por metade da soma de seus comprimentos:

X 2 -   X 1 =   1 2 10,0   c m + 20,0   c m

X 2 -   X 1 = 0,150   m   ( I I )

Com as equações ( I ) e ( I I ) montamos o seguinte sistema, e o resolvemos:

X 1 +   2 X 2 = 3,30     m         X 2 -   X 1 = 0,150   m            

3 X 2 = 3,45   m X 2 = 1,15   m    

X 2 -   X 1 = 0,150   m            

1,15   m -   X 1 = 0,150   m            

X 1 = 1,00   m

Logo, os valores do nosso centro de massa são:

X 1 = 1,00   m e X 2 = 1,15   m

Resposta

As posições do centro de massa de cada deslizador após eles se tocarem são:

X 1 = 1,00   m e X 2 = 1,15   m

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