Mostre que o campo elétrico na cavidade do problema 83b é dado por E → = r 3 ε 0 b i ^

Passo 1

Vamos usar a fórmula obtida no exercício anterior para o campo elétrico no interior de uma esfera não condutora uniformemente carregada:

E → = ρ r → 3 ε 0

Passo 2

Vamos utilizar o princípio da superposição:

E → = E → 1 + E → 2

onde

  • E → é o campo elétrico, no ponto P , da esfera completa (sem buraco)
  • E → 1 é o campo elétrico da esfera de raio b que foi retirada.
  • E → 2 é o campo elétrico da esfera com o buraco (é o que queremos calcular)

Veja a figura abaixo:

Temos que

E → = ρ r → 1 3 ε 0                       E → 1 = ρ r → 2 3 ε 0

Assim, segue que

E → 2 = E → - E → 1 = ρ 3 ε 0 r → 1 - r → 2

Agora, note que se d → é o vetor que liga os centros das esferas, estão

d → + r → 2 = r → 1 ⟹ d → = r → 1 - r → 2

Ou seja,

E → 2 = ρ d → 3 ε 0

No nosso problema d → = b i ^ . Assim,

E → 2 = ρ b 3 ε 0 i ^

Resposta

O campo elétrico vale ρ b 3 ε 0 i ^ .

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