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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 64

Mostre que em uma colisão unidimensional elástica, se a massa e velocidade do corpo 1 são m 1 e v 1 i , e se a massa e a velocidade do corpo 2 são m 2 e v 2 i , então suas velocidades finais são dadas por v 1 f = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v 1 i + 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 i

e

v 2 f = 2 m 1 m 1 + m 2 v 1 i + m 2 - m 1 m 1 + m 2 v 2 i

Passo 1

Gente, mais uma questão de colisões. E como em qualquer questão de colisões nós podemos aplicar conservação da quantidade de movimento e a equação do coeficiente de restituição. Com isso vamos conseguir achar aquelas expressões que ele deu.

Passo 2

Conservação da quantidade de movimento:

m 1 v 1 f + m 2 v 2 f = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i   ( e q u a ç ã o   1 )

Coeficiente de restituição (como nesse caso a colisão é elástica, e = 1 .):

e = v 1 f - v 2 f v 2 i - v 1 i = 1

v 1 f - v 2 f = v 2 i - v 1 i   ( e q u a ç ã o   2 )

Passo 3

Agora é hora do primeiro algebrismo maroto: multiplicando a equação 2 por m2 e somando com a equação 1, vamos obter:

Multiplicando...

m 2 v 1 f - m 2 v 2 f = m 2 v 2 i - m 2 v 1 i

Somando...

m 1 v 1 f + m 2 v 2 f + m 2 v 1 f - m 2 v 2 f = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i + m 2 v 2 i - m 2 v 1 i

m 1 v 1 f + m 2 v 1 f = 2 m 2 v 2 i + m 1 v 1 i - m 2 v 1 i

( m 1 + m 2 ) v 1 f = ( m 1 - m 2 ) v 1 i + 2 m 2 v 2 i

v 1 f = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v 1 i + 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 i

Passo 4

Agora vamos fazer o segundo algebrismo maroto: multiplicando a equação 2 por m1 e subtraindo da equação 1:

Multiplicando...

m 1 v 1 f - m 1 v 2 f = m 1 v 2 i - m 1 v 1 i

Subtraindo...

m 1 v 1 f + m 2 v 2 f - m 1 v 1 f + m 1 v 2 f = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i - m 1 v 2 i + m 1 v 1 i

( m 1 + m 2 ) v 2 f = 2 m 1 v 1 i + ( m 2 - m 1 ) v 2 i

v 2 f = 2 m 1 m 1 + m 2 v 1 i + m 2 - m 1 m 1 + m 2 v 2 i

Como queríamos.

A motivação desses algebrismos é gerar termos que simplifiquem as coisas. Se queremos achar v 1 f , multiplicamos coisas de modo a cortar v 2 f , e vice versa. Pode parecer pouco natural, a princípio, mas com o tempo essa idéia vai aparecendo mais vezes pra você ficar craque!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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