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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 71

Cientistas estimam que o meteorito responsável pela criação da cratera de Barringer, no Arizona, pesava aproximadamente 2,72 × 10 5 toneladas ( 1   t o n e l a d a   =   1000 k g ) e viajava a 17,9 k m / s . Considere a rapidez orbital da Terra como cerca de 30 k m / s . (a) Qual deveria ser o sentido do impacto para a rapidez orbital da Terra sofrer a maior variação possível? (b) Na condição de colisão da Parte (a), estime a máxima variação percentual da rapidez orbital da Terra, como resultado da colisão. (c) Qual seria a massa necessária para que um asteroide, com a rapidez igual à rapidez orbital da Terra, fizesse variar a rapidez orbital da Terra em 1,00 por cento?

Passo 1

Vamos considerar o sistema que inclui a Terra e o asteroide. Vamos escolher um sistema de coordenadas em que a direção da órbita esteja na direção + x . Vamos aplicar conservação do momento linear à colisão inelástica da Terra e do asteroide pra achar a porcentagem que variou a velocidade orbital da Terra, e também a massa do asteroide que mudaria a velocidade orbital em 1.00 % . Lembrando que se a colisão é inelástica, os corpos passam a ser mover juntos!

Passo 2

  1. O meteorito tem que impactar a Terra no sentido oposto ao movimento original dela.

    2. Passo 3

  2. A variação percentual na velocidade orbital da terra vai ser calculada por:

    3. Δ v v T = v f - v T v T = 1 - v f v T  

    Vamos aplicar conservação da quantidade de movimento para o sistema: (a velocidade do asteroide entra negativa na conta pois ele vai no sentido oposto)

    P i = P f  

    m T v T - m A v A = m T + m A v f

    v f = m T v T - m A v A m T + m A

    v f = m T m T + m A v T - m A m T + m A v A  

    Vamos dividir pela massa da terra em cima e embaixo:

    v f = 1 1 + m A m T v T - m A m T 1 + m A m T v A

    Aqui a gente vai usar uma aproximação parecida com a da questão 65. Como a massa do asteroide é muito menor que a da Terra, 1 1 + m A m T ≈ 1 . Além disso, mexendo no segundo termo, vamos obter: m A m T 1 + m A m T v A = m A m T v A 1 + m A m T - 1 . Vamos lembrar de uma aproximação chamada aproximação de Bernoulli: Se x é muito pequeno, 1 + x n ≅ ( 1 + n x ) .

    m A m T v A 1 + m A m T - 1 ≅ m A m T v A 1 - m A m T = m A m T v A - m A 2 m T 2 v A ≅ m A m T v A

    Aí bora arrumar a casa na expressão da velocidade:

    v f = 1 1 + m A m T v T - m A m T 1 + m A m T v A

    v f = v T - m A m T v A

    Δ v v T = 1 - v f v T = 1 - v T - m A m T v A v T = m A v A m T v T

    Passo 4

    Agora falta só substituir os valores!

    Δ v v T = 2,72 × 10 5 t o n × 10 3 k g t o n × 17.9 k m / s 5.98 × 10 24 k g × 30.0 k m / s

    Δ v v T = 2.71 × 10 - 15 %

    Passo 5

  3. Se o asteroide vai alterar a velocidade da Terra em 1%, vamos substituir isso na expressão que achamos ali em cima.

Δ v v T = m A v A m T v T = 1 100

m A = m T v T 100 v A

m A = 30 k m / s × 5.98 × 10 24 k g 100 × 17.9 k m / s = 1.00 × 10 23 k g

Resposta

  1. O meteorito tem que impactar a Terra no sentido oposto ao movimento original dela.
  2. 2.71 × 10 - 15 %
  3. 1.00 × 10 23 k g
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