Mostre que, se a componente L z do momento angular orbital L → for medida. o máximo que se pode dizer a respeito das outras duas componcntes do momento angular orbital é que obedecem à relação

L x + L y 1 2 = λ λ + 1 - m λ 2 1 2 ℏ

Passo 1

Já que sabemos que L z foi medida, então temoss o valor dele em termos do seu número quântico m λ :

L z = m λ ℏ

Certo?

Passo 2

Por outro lado, podemos calcular o módulo do vetor momento angular L → :

L → 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2

E substituir o valor de L z que conhecemos:

L → 2 = L 2 = L x 2 + L y 2 + m λ 2 ℏ 2

Passo 3

Opa, mas sabemos que o momento angular é quantizado e está relacionado com o número quântico λ :

L 2 = λ λ + 1 ℏ 2

Bom, agora vou resgatar ali do passo anterior o valor do módulo quadrado do momento angular:

λ λ + 1 ℏ 2 = L x 2 + L y 2 + m λ 2 ℏ 2

E tudo que conseguimos descobrir apenas com a medida de L z é isso:

L x 2 + L y 2 = λ λ + 1 ℏ 2 - m λ 2 ℏ 2

L x 2 + L y 2 = ℏ λ λ + 1 - m λ 2

Resposta

λ λ + 1 ℏ 2 = L x 2 + L y 2 + m λ 2 ℏ 2

L x 2 + L y 2 = λ λ + 1 ℏ 2 - m λ 2 ℏ 2

L x 2 + L y 2 = ℏ λ λ + 1 - m λ 2

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