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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 21.Exercícios e Problemas - Ex. 10

Mostre que, em um condutor submetido a um campo elétrico E → e a um campo magnético tal que ω C τ = 1 , a densidade de corrente j → faz um ângulo de 45 ° com o campo elétrico.

Passo 1

Na seção 21.6 do livro é feita uma longa discussão sobre as forças elétricas e magnéticas que agem sobre as cargas de um condutor transportando corrente. As equações 21.24, 21.27 e 21.28 relacionam as componentes do campo elétrico com as componentes do vetor densidade de corrente.

Para essa questão, é particularmente útil a gente usar a equação 21.27, porém saiba que as equações 21.24 e 21.28 são totalmente análogas:

E x E y = ρ 1 - ω C τ ω C τ 1 j x j y

Observe que se trata de uma equação matricial que relaciona as componentes de j → com as componentes de E → .

Como o campo magnético é tal que ω C τ = 1 , a equação pode ser escrita como

E x E y = ρ 1 - 1 1 1 j x j y

Se você está meio perdido com de onde eu tirei essas relações, aconselho ler toda a dedução feita no livro, prometo que não é difícil, só é um pouco longa para eu fazer aqui e lá está explicado bonitinho 😊.

Passo 2

Fazendo o produto de matrizes, achamos

E x = ρ j x - ρ j y               e           E y = ρ j x + ρ j y

Agora vamos precisar recorrer um pouco a geometria analítica! O ângulo entre dois vetores j → e E → é dado por

cos ⁡ θ = j → ⋅ E → j   E

Lembre-se que j e E são os módulos dos vetores, dados por

j = j x 2 + j y 2                 E = E x 2 + E y 2

Vamos calcular primeiro o módulo do campo elétrico:

E = ρ j x - ρ j y 2 + ρ j x + ρ j y 2 = 2 ρ 2 j x 2 + 2 ρ 2 j y 2

Assim, tirando 2 ρ 2 em evidência:

E = 2 ρ 2 j x 2 + j y 2 = ρ 2 ⋅ j

Agora vamos olhar para o produto escalar:

j → ⋅ E → = j x E x + j y E y

Portanto,

j → ⋅ E → = ρ j x 2 - ρ j x j y + ρ j x j y + ρ j y 2 = ρ j x 2 + j y 2 = ρ j 2

Com isso, o cosseno do ângulo entre os vetores será dado por

cos ⁡ θ = ρ j 2 j ⋅ ρ 2   j = 1 2 → cos ⁡ θ = 2 2

Isso significa que o ângulo entre eles é de 45°!

Resposta

Demonstração.

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